稀疏自动编码之梯度检验

众所周知，反向传播算法很难调试和得到正确结果，特别是在执行过程中存在许多细小难以察觉的错误。这里介绍一种方法来确定代码中导数的计算是否正确。使用这里所述求导检验方法，可以帮助提升写正确代码的信心。

假设我们想最小化关于 $\textstyle \theta$ 的函数 $\textstyle J(\theta)$ . 对于这个例子，假设 $\textstyle J : \Re \mapsto \Re$ ，所以 $\textstyle \theta \in \Re$ . 在一维空间，梯度下降的一次迭代公式如下：

$\begin{align} \theta := \theta - \alpha \frac{d}{d\theta}J(\theta). \end{align}$

假设我们已经实现了某个函数 $\textstyle g(\theta)$ 去计算 $\textstyle \frac{d}{d\theta}J(\theta)$ ，那么梯度下降时参数更新就可以这样： $\textstyle \theta := \theta - \alpha g(\theta)$ . 该如何检验我们编写的函数 $\textstyle g$ 是正确的呢？

回忆导数的定义：

$\begin{align} \frac{d}{d\theta}J(\theta) = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{J(\theta+ \epsilon) - J(\theta-\epsilon)}{2 \epsilon}. \end{align}$

对于任意的 $\textstyle \theta$ ，可以用如下公式来从数值上近似导数值：

$\begin{align} \frac{J(\theta+{\rm EPSILON}) - J(\theta-{\rm EPSILON})}{2 \times {\rm EPSILON}} \end{align}$

在实践中，将 $\textstyle 10^{-4}$

$\textstyle \frac{d}{d\theta}J(\theta)$

$\begin{align} g(\theta) \approx \frac{J(\theta+{\rm EPSILON}) - J(\theta-{\rm EPSILON})}{2 \times {\rm EPSILON}}. \end{align}$

到底这两个值接近到什么样的一个程度才算正确呢？要取决于 $\textstyle J$ 的具体形似。但是假定 $\textstyle {\rm EPSILON} = 10^{-4}$ , 通常我们会发现上述式子左右两边的值至少有4位有效数字是一样的（甚至更多）。

现在，考虑 $\textstyle \theta \in \Re^n$ ，即参数是一个向量而不是一个实数（所以需要学习出 $\textstyle n$ 个参数），且 $\textstyle J: \Re^n \mapsto \Re$ . 在我们的神经网络例子中使用符号 $\textstyle J(W,b)$ , 所以我们可以想象把这许多参数 $\textstyle W,b$ 全部装进一个很长的向量 $\textstyle \theta$ . 现在，就把导数检验过程泛化到 $\textstyle \theta$ 是向量的情况。

假设我们编写了一个函数 $\textstyle g_i(\theta)$ 计算导数 $\textstyle \frac{\partial}{\partial \theta_i} J(\theta)$ ，我们想要检验 $\textstyle g_i$ 是否正确地计算出了导数值. 令 $\textstyle \theta^{(i+)} = \theta + {\rm EPSILON} \times \vec{e}_i$ ，其中：

$\begin{align} \vec{e}_i = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix} \end{align}$

是第 $\textstyle i$ 个基向量（维数与 $\textstyle \theta$ 一样，只有第 $\textstyle i$ 个元素为1，其他位置元素全部为0）.所以对于 $\textstyle \theta^{(i+)}$ ，除了第 $\textstyle i$ 个元素比 $\textstyle \theta$ 的第 $\textstyle i$ 个元素多加了EPSILON，其他元素完全一样。类似地有： $\textstyle \theta^{(i-)} = \theta - {\rm EPSILON} \times \vec{e}_i$ .然后就可以通过检查下面式子的正确与否来检验 $\textstyle g_i(\theta)$ 的正确性：

$\begin{align} g_i(\theta) \approx \frac{J(\theta^{(i+)}) - J(\theta^{(i-)})}{2 \times {\rm EPSILON}}. \end{align}$

当用反向传播去训练神经网络时，正确执行的算法可以得到：

这展示在

稀疏自动编码之反向传播算法（BP）

的梯度下降伪代码中.通常用上面的方法计算出 $\textstyle J(W,b)$ 的导数值，通过它检验我们程序中 $\textstyle \left(\frac{1}{m}\Delta W^{(l)} \right) + \lambda W$ 和 $\textstyle \frac{1}{m}\Delta b^{(l)}$ 是否确实计算出了我们想要的到数值。

学习来源：http://deeplearning.stanford.edu/wiki/index.php/Gradient_checking_and_advanced_optimization

posted @ 2014-10-13 10:10 90Zeng 阅读(1098) 评论(0) 编辑收藏举报

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稀疏自动编码之梯度检验

稀疏自动编码之反向传播算法（BP）

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