组合数学学习笔记

定义

C_{n}^{m} = (\binom{n}{m}) = \frac{n!}{m! (n - m)!}

$C_n^m=\dbinom{n}{m}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}$

公式

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k}) + (\binom{n - 1}{k - 1})

$\dbinom{n}{k}=\dbinom{n-1}{k}+\dbinom{n-1}{k-1}$

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) = 2^{n}

$\sum^n_{i=0}\dbinom{n}{i}=2^n$

(\binom{n}{m}) (\binom{m}{k}) = (\binom{n}{k}) (\binom{n - k}{m - k})

$\dbinom{n}{m}\dbinom{m}{k}=\dbinom{n}{k}\dbinom{n-k}{m-k}$

组合数求法

当范围较小时，使用加法原理 $O(n^2)$ 求组合数（杨辉三角）

当范围较大时用定义式，对大质数 $p$ 取模时 $O(n)$ 预处理阶乘与阶乘逆元

int fac[maxn], inv[maxn], invfac[maxn];
fac[0] = inv[1] = invfac[0] = 1;
rep(i, 2, n) inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;
rep(i, 1, n) fac[i] = fac[i - 1] * i % p;
rep(i, 1, n) invfac[i] = inv[i] * invfac[i - 1] % p;

范围更大无法处理阶乘时可以使用 Lucas 定理，时间复杂度 $O(\log_pn)$

Lucas 定理

(\binom{n}{m}) \equiv (\binom{⌊ \frac{n}{p} ⌋}{⌊ \frac{m}{p} ⌋}) \times (\binom{n mod p}{m mod p}) (\mod p)

$\dbinom{n}{m}\equiv\dbinom{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}\times\dbinom{n\bmod p}{m\bmod p} \pmod{p}$

ll fac[maxn], invfac[maxn], inv[maxn];
ll lucas(ll x, ll y) {
    if(x < y) return 0;
    if(x < p) return fac[x] * invfac[y] * invfac[x - y] % p;
    return lucas(x / p, y / p) * lucas(x % p, y % p) % p;
}

球与盒子模型

1) 球相同盒不同无空盒

隔板法，相当于在 $n-1$ 个位置插 $m-1$ 个隔板，答案为 $\dbinom{n-1}{m-1}$

2) 球相同盒不同有空盒

加入 $m$ 个“虚球”，接下来同无空盒，最终答案为 $\dbinom{n+m-1}{m-1}$

3) 球不同盒相同无空盒

第二类斯特林数。

设 $f_{i,j}$ 为 $i$ 个小球放在 $j$ 个盒子里且每个盒子不空的方案数，则 $f_{i,1} = f_{i,i} = 1$ ，转移为 $f_{i,j}=j\times f_{i-1,j}+f_{i-1, j - 1}$

int f[15][15];//表示n个小球放进m个盒子里且每个盒子不空的方法数
rep(i, 1, n) f[i][1] = 1, f[i][i] = 1;
   rep(i, 1, n) rep(j, 2, m) f[i][j] = f[i - 1][j] * j + f[i - 1][j - 1];