zoj 2678 Bishops on a Toral Board 同余方程组,完系(3-I)

题目地址:http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=2678

题解 :  1本题的答案就是gcd(m,n)  

               2解释是这样的,棋盘上的点是 (i,j)    0<=i<=m-1;     0<=j<=n-1;     从(a,b)走k步到达的点就是  ((a+k)%m, (b+k)%n)    现在的问题就是,至少需要多少个整数对

               (a,b)  构成一个 点集,使得 对任意的i,j   , 0<=i<=m-1;     0<=j<=n-1;在这个点集中一定存在一个  (a0,b0)    ,和一个整数k  。

               成立着  ((a0+k)%m, (b0+k)%n)  ==(i,j)

               这是同余方程组问题 , 数论中可以证明, 使得x==a (mod m),x==b (mod n)  有解的充要条件是(m,n) |(a-b)  

               那么再本题中就是要求  (m,n)|  j-i - (b-a)    

              3   分充分性和必要性两方面说明 点集的元素恰好就是(m,n);

                   充分性:只需要(m,n)个点就行了。 取(m,n)个点 : (0,y)   0<=y<=(m.n)-1;   这样的点构成的“b-a” 可以遍历mod  (m,n)  的完系 ,所以不管j-i 在mod (m,n)取什么值,我们都可以在完系中把它抓出来,这样就整除啦

                   

                  必要性: 少于(m,n)个元素是不行的:   一旦点的数量少于(m,n)那么“b-a”的值只会更少(因为可能还会重复),也就是说b-a  是取不了mod (m,n)的完系的。

显然j-i 是可以遍历的(不妨设m<=n, 令i=0,j运动就可以了 )   ,这与不管怎么取(i,j) 都有b-a 让他们满足同余关系矛盾了。


                 综上所述这样的最小点集元素个数就是(m,n)


import java.math.*;
import java.util.*;
import java.io.*;
public class Main {
	

	    public static void main(String[] args) throws Exception {
		
		  Scanner cin=new Scanner(System.in);
		  
		  boolean first=true;
		  while(cin.hasNext())
		   
		  {
			 if(first==false)  System.out.println();
			 if(first==true)  first=false;
			 
			 BigInteger m=cin.nextBigInteger();
			 BigInteger n=cin.nextBigInteger();
			 
			 System.out.println(m.gcd(n));
		  }
         }
     
	
		
	    }
	  
	   



posted @ 2013-07-27 13:53  814jingqi  阅读(186)  评论(0编辑  收藏  举报