zoj 2678 Bishops on a Toral Board 同余方程组，完系（3-I）

题目地址：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=2678

题解 ：  1本题的答案就是gcd(m,n)  

               2解释是这样的，棋盘上的点是 (i,j)    0<=i<=m-1;     0<=j<=n-1;     从（a，b）走k步到达的点就是  (（a+k）%m, (b+k)%n)    现在的问题就是，至少需要多少个整数对

               (a,b)  构成一个 点集，使得 对任意的i，j   ， 0<=i<=m-1;     0<=j<=n-1;在这个点集中一定存在一个  (a0,b0)    ，和一个整数k  。

               成立着  (（a0+k）%m, (b0+k)%n)  ==（i，j）

               这是同余方程组问题 ， 数论中可以证明， 使得x==a （mod m），x==b （mod n）  有解的充要条件是（m,n） |（a-b）  

               那么再本题中就是要求  （m，n）|  j-i - (b-a)    

              3   分充分性和必要性两方面说明 点集的元素恰好就是(m,n);

                   充分性：只需要（m,n）个点就行了。 取(m,n)个点 ： （0，y）   0<=y<=(m.n)-1;   这样的点构成的“b-a” 可以遍历mod  （m，n）  的完系 ，所以不管j-i 在mod （m，n）取什么值，我们都可以在完系中把它抓出来，这样就整除啦

                   

                  必要性： 少于（m,n）个元素是不行的：   一旦点的数量少于（m,n）那么“b-a”的值只会更少（因为可能还会重复），也就是说b-a  是取不了mod （m，n）的完系的。

显然j-i 是可以遍历的（不妨设m<=n, 令i=0，j运动就可以了 ）   ，这与不管怎么取（i，j） 都有b-a 让他们满足同余关系矛盾了。

                 综上所述这样的最小点集元素个数就是（m，n）

import java.math.*;
import java.util.*;
import java.io.*;
public class Main {
	

	    public static void main(String[] args) throws Exception {
		
		  Scanner cin=new Scanner(System.in);
		  
		  boolean first=true;
		  while(cin.hasNext())
		   
		  {
			 if(first==false)  System.out.println();
			 if(first==true)  first=false;
			 
			 BigInteger m=cin.nextBigInteger();
			 BigInteger n=cin.nextBigInteger();
			 
			 System.out.println(m.gcd(n));
		  }
         }
     
	
		
	    }