POJ 1737 Connected Graph（高精度+DP递推）
题面
$ solution: $
首先做个推销：带负数的压位高精度（加减乘+读写）
然后：由 $ N $ 个节点组成的无向图的总数为： $ 2^{N\times (N-1)/2} $ （也就是说这个图总共有 $ N\times (N-1)/2 $ 条边，每一条边选或不选就可以得出来）
然后我们直接开始分析题目，因为这道题需要求无向连通图的方案数，这道题似乎也不是一个结论题， $ wch $ 决定去找找规律，是不是 $ n $ 和 $ n-1 $ 有什么关系，但是 $ wch $ 发现他打不出表。 然后 $ wch $ 想到了分治合并，但如果将它分为两份 $ \frac{n}{2} $ 似乎更不好合并了。但是他依旧觉得这题肯定可以用分开合并的方法（于是他觉得应该直接DP）。（说白了就是他比较傻，现在才想到直接DP）。
然后他试图写出转移方程，然后他懵了。他发现很难不重不漏的把所有情况算进去（两个联通图暴力连边会导致重复），但是他发现如果两个联通图中间不连边就可以组成一个不连通图，于是他恍然大悟：似乎可以用所有图的方案数减去不连通的方案数！而一个不连通图一定有若干个连通图组成，我们可以围绕一个连通图来数方案，于是一个转移应运而生：我们钦定有 $ k $ 个节点在左边某个联通图里（可以用组合数选 $ k $ 个），剩下的 $ i-k $ 个节点在右边的图里，但是这样仔细一想也会重复。为什么呢？我们围绕的那个 $ k $ 个节点组成的连通图是不确定的，他有可能被后面的枚举中（ $ i-k $ 所组成的图）取到。所以我们要把它固定下来，（在算法竞赛里称为找基准点，并围绕它构造一个不可划分的整体）于是我们钦定一号节点在左边那个连通图中，这样我们就能不重不漏的算下左右情况了！
设 $ F[i] $ 表示有 $ i $ 个节点组成的联通图的个数有多少个，我们考虑这个怎么转移过来的：首先枚举左边的连通图的大小 $ 1<k<i $ ，然后我们要钦定一号结点在里面，所以我们只需要从剩下的 $ i-1 $ 个 节点里选出 $ k-1 $ 个即可（显然可以选 $ C^{k-1}_{i-1} $ 种），然后这 $ k $ 个节点是需要组成一个连通图的，所以再乘上一个 $ F[k] $ 然后我们还需要乘上后面的 $ i-k $ 个节点组成的任意图即： $ 2^{(i-k)\times (i-k-1)/2} $ 于是转移方程即为：
$ F[i]=2^{i\times (i-1)/2}-\sum{i-1}_{k=1}{C_{i-1}\times F[k]\times 2^{(i-k)\times (i-k-1)/2}} $
$ code: $
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define ll long long
#define db double
#define inf 0x7fffffff
#define rg register int
using namespace std;
int n;
struct gj{
bool fu; //是否是负数
int tt,mod; //高精的长度
int s[1005]; //压位用的数组
inline gj(){ //整体初始化
fu=0; tt=0; mod=1e9;
memset(s,0,sizeof(s));
}
inline gj read(){ register char ch; //高精度读入
while(!isdigit(ch=getchar()))if(ch=='-')fu=1;
char _[100005]; rg l=0,r=-1; _[0]=ch;
while(isdigit(_[++l]=getchar()));; tt=l/9-!(l%9);
for(rg i=(l-1)%9+1;i;--i) (s[tt]*=10)+=_[++r]^48;
for(rg i=tt-1;i>=0;--i)for(rg j=0;j<9;++j)(s[i]*=10)+=(_[++r]^48);
while(tt&&!s[tt])--tt;; return (*this);
}
inline void print(){ //高精度输出
if(fu)putchar('-');
printf("%d",s[tt]);
for(rg i=tt-1;i>=0;--i)
printf("%09d",s[i]);
putchar('\n');
}
inline bool operator >(const gj &x){ //定义大于
if(tt!=x.tt)return tt>x.tt;
for(rg i=tt;i>=0;--i)
if(s[i]!=x.s[i])return s[i]>x.s[i];
return 0;
}
inline bool operator <(const gj &x){ //定义小于
if(tt!=x.tt)return tt<x.tt;
for(rg i=tt;i>=0;--i)
if(s[i]!=x.s[i])return s[i]<x.s[i];
return 0;
}
inline gj operator =(int x){ //int的等于
while(tt)s[tt]=0,--tt;
s[0]=x%mod; s[1]=x/mod;
if(s[1])tt=1;; return *this;
}
inline gj operator =(ll x){ //int的等于
while(tt)s[tt]=0,--tt;
while(x)s[tt]=x%mod,x/=mod,++tt;
if(!s[tt])--tt;; return *this;
}
inline void add(const gj &x){ //加法的底层
rg sign=0; if(x.tt>tt)tt=x.tt;
for(rg i=0;i<=tt;++i){
s[i]+=x.s[i]+sign; sign=0;
if(s[i]>mod)s[i]-=mod,sign=1;
}if(sign)s[++tt]=1;
}
inline void cut(const gj &x){ //减法的底层
if(fu)cout<<54564<<endl;
rg sign=0;
for(rg i=0;i<=tt;++i){
s[i]-=x.s[i]+sign; sign=0;
if(s[i]<0)s[i]+=mod,sign=1;
}while(tt&&!s[tt])--tt;
if(!tt&&!s[tt]) fu=0;
}
inline void mul(const gj &x){ //乘法的底层
gj y; ll num; y.tt=tt+x.tt;
for(rg i=0;i<=tt;++i){ num=0;
for(rg j=0;j<=x.tt;++j){
num=(ll)s[i]*x.s[j]+y.s[j+i]+num;
y.s[j+i]=num%mod; num/=mod;
} if(num)y.s[x.tt+i+1]=num;
}if(num)++y.tt;; *this=y;
}
inline void operator +=(gj x){ //赋值加法重载
if(fu==x.fu){(*this).add(x); return;}
if(*this>x) (*this).cut(x);
else x.cut(*this),*this=x,fu^=1;
}
inline gj operator +(const gj &x){ //加法正常重载
gj y=*this; y+=x; return y;
}
inline void operator -=(gj x){ //赋值减法重载
if(fu!=x.fu){(*this).add(x); return;}
if(*this>x){(*this).cut(x); return;}
x.cut(*this); *this=x; if(s[tt])fu^=1;
}
inline gj operator -(const gj &x){ //减法正常重载
gj y=*this; y-=x; return y;
}
inline void operator *=(gj x){ //赋值乘法重载
if(!s[tt]||!x.s[x.tt]){gj y; *this=y;}
if(fu!=x.fu)fu=1;else fu=0;; (*this).mul(x);
}
inline gj operator *(const gj &x){ //乘法正常重载
gj y=*this; y*=x; return y;
}
inline gj operator *(int x){ gj y; y=x; return (*this)*y;}
inline void operator *=(int x){gj y; y=x; (*this)*=y;}
inline gj operator +(int x){ gj y; y=x; return (*this)+y;}
inline void operator +=(int x){gj y; y=x; (*this)+=y;}
inline gj operator -(int x){ gj y; y=x; return (*this)-y;}
inline void operator -=(int x){gj y; y=x; (*this)-=y;}
}f[51],pf[1235],c[51][51];
inline int qr(){
register char ch; register bool sign=0; rg res=0;
while(!isdigit(ch=getchar())) if(ch=='-')sign=1;
while(isdigit(ch)) res=res*10+(ch^48),ch=getchar();
return sign?-res:res;
}
int main(){
//freopen("in.in","r",stdin);
//freopen("out.out","w",stdout);
pf[0]=1; n=50;
for(rg i=0;i<=50;++i) c[i][0]=1;
for(rg i=0;i<=1225;++i) pf[i+1]=pf[i]*2;
for(rg i=1;i<=50;++i)
for(rg j=1;j<=50;++j)
c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
f[1]=1; f[2]=1;
for(rg i=3;i<=n;++i){
f[i]=pf[i*(i-1)/2];
for(rg j=1;j<i;++j)
f[i]-=f[j]*c[i-1][j-1]*pf[(i-j)*(i-j-1)/2];
} while((n=qr()))f[n].print();
return 0;
}
