欧拉定理的证明与扩展

费马小定理与欧拉定理：

费马小定理：当 $ m $ 为质数且 $ a $ 不为 $ m $ 的倍数时有 $ a^{m-1}≡1\mod(m) $

根据费马小定理可知： $ a^{m-2} $ 就是a在模m意义下的逆元.

欧拉定理：当 $ a $ , $ m $ 互质时, $ a^{\phi(m)}\equiv 1\mod (m) $ （这个式子也可以求逆元）

其实根据欧拉函数，我们可以看出费马小定理就是欧拉定理的特殊情况，因为若 $ m $ 为质数： $ \phi(m)=m-1 $

欧拉定理的证明：

$ a^{\phi(m)}\equiv 1\mod (m) $

分析这个定义式的左边，我们可以将所有与m互质的数都列举出来：

这里我们写成： $ x_1,x_2,x_3...x_{\phi(n)} $ 这个形式

因为我们要得到 $ a^{\phi(m)} $ 是多少，所以我们将这 $ \phi(m) $ 个与m互质的数都乘上 $ a $

这里我们写成： $ p_1=ax_1,\quad p_2=ax_2......p_{\phi(m)}=ax_{\phi(m)} $ 这个形式

引理1：对于上述两种形式，任意两个 $ x_i $ 之间模 $ m $ 不同余，任意两个 $ p_i $ 之间模 $ m $ 不同余

任意两个 $ x_i $ 之间模 $ m $ 不同余，这个很显然，因为 $ x_i $ 都小于m且互不相同

任意两个 $ p_i $ 之间模 $ m $ 不同余，这个可以用反证法：

$ i\ne j $ 且 $ p_i\equiv p_j\mod (m) $ 即 $ p_i-p_j\equiv 0\mod (m) $

上式可以写作： $ a(x_i-x_j)\equiv 0\mod(m) $ 即 $ a(x_i-x_j)=km $

可是我们的a与m互质，而 $ (x_i-x_j) $ 也必然不会是m的倍数（xi与xj不相等且都小于m）

所以等式右边不是m的倍数，等式不成立，反证法证毕！

引理2：任意 $ p_i $ 在模m后都与m互质 （这个我们同样用反证法）

$ ax_i\equiv r\mod(m) $ 且 $ gcd(r,m)>1 $ => 则存在： $ ax_i=r+km $

但我们的a和xi均与m互质，所以等式左边不为r的倍数，不可能等于右边，反证毕！

推出结果：根据上述两个引理，我们可以得出下面这个等式：

$ a^{\phi(n)}\equiv 1\mod(m) $

$ p_1_\timesp_2_\timesp_3..._\timesp_{\phi (n)}\equiv x_1_\timesx_2_\timesx_3..._\timesx_{\phi(n)}\mod(m) $

$ ax_1\times ax_2\times ax_3...\times ax_{\phi(n)}\equiv x_1\times x_2\times x_3...\times x_{\phi(n)}\mod(m) $

$ a^{\phi(n)}x_1\times x_2\times x_3...\times x_{\phi(n)}\equiv x_1\times x_2\times x_3...\times x_{\phi(n)}\mod(m) $

应用：根据欧拉定理，我们可以快速求出某一个数的最小的逆元

欧拉定理的推论：

欧拉定理的推论：若正整数 $ a $ ， $ m $ 互质，则对于任意正整数 $ b $ ，有 $ a^b ≡ a^{b\modφ(n)} \mod (m) $ 。

这个是及其好证明的：因为 $ a^b $ 可以表示成 $ a^{k\times \phi(n)+(b\modφ(n))}=a^{k\times \phi(n)}\times a^{(b\modφ(n))} $

而我们已经证明了： $ a^{\phi(n)}\equiv 1\mod(m) $ 所以原式就等于 $ a^{b\modφ(n)} $

应用：根据这个定理，我们在解题时适当对指数进行取模

欧拉定理的扩展：

我们知道欧拉定理推论它有一个前提条件：当 $ a $ , $ m $ 互质时, $ a^{\phi(m)}\equiv 1\mod (m) $

但是欧拉定理其实在 $ a $ , $ m $ 不互质时，也有办法对指数进行取模，简化运算

欧拉定理的扩展： $ a^b≡ a^{b\mod\phi(m)+\phi(m)}\mod (m)\quad b≥q(m) $

证明：

因为a和m不互质，那我们假设p为a和m的任意一个质因子

那我们的问题就转换成了证明： $ p^b≡ p^{b\mod\phi(m)+\phi(m)}\mod (m) $

因为除去这些质因子，一个与m互质的数一定满足这个扩展式，所以只要我们能证明这些质因子也能满足扩展式，那么根据同余的乘法性质，我们就能乘得上述扩展式了！

为了方便证明，我们设 $ r $ 表示 $ m $ 中有多少个质因子 $ p $ ，再设 $ s=m/p^r $ ，显然 $ gcd(s,p)=1 $

因为我们的欧拉函数是积性函数，而且 $ s|m $ ，所以 $ \phi(s)=\phi(m) $

又因为 $ p^{\phi(s)}\equiv 1\mod (s) $ ，所以 $ p^{\phi(m)}\equiv 1\mod (s) $

根据同余的性质，如果我们两边同乘 $ p^r $ ，模数也可以乘上 $ p^r $ ，可得： $ p^{\phi(m)+r}\equiv p^r\mod (m) $ （ $ m=s\times p^r $ ）

仔细一观察同余号两边，这不就是一个循化节吗，这不就是一个递推式吗？

我们将它转换一下： $ p^b≡p≡p^{{b-r+\phi(m)+r}≡p}\mod (m) $

注意，我们整个过程中的b就是一个任意数，只是要满足 $ b\geq\phi(m) $ 而已

所以，我们反向递推这个式子： $ p^{{(b-\phi(m))}≡p}≡p^b\mod (m) $

我们经过不断反向递推，必然可以得到： $ p^{{b\mod\phi(m)+\phi(m)}≡p}b\mod (m) $

所以扩展欧拉定理，卒........