同余的性质

注：博主数论学得比较菜，只会生搬，大家只当参考看看就好。

同余介绍：

同余是数论中一个基本概念，它基本概念与记号都是伟大的数学家高斯引进的．它的引人简化了数论中的许多问题，本文只是总结一点基本的定理而已。

定义：

定义 1 :给定一正整数 $ m $ （模数），若用 m 去除两个整数 $ a $ 和 $ b $ 所得余数相同，则称 $ a $ 与 $ b $ 对模 $ m $ 同余，记作 $ a \equiv b \mod (m) $ ；若余数不同，则称 $ a $ 与 $ b $ 对模 $ m $ 不同余，记作 $ a \ne b \mod(m) $ 。

定义 2： 若 $ m | ( a - b ) $ ，则称 $ a $ 与 $ b $ 对模 $ m $ 同余。

定义 3： 若 $ a = km + b $ ，则称 $ a $ 与 $ b $ 对模 $ m $ 同余．显然， $ a \equiv 0\mod (m) $ 等价于 $ m|a $ 。

性质：

由同余的定义，可得下列性质 ：

1. 自反性： $ a≡a \mod (m) $ 。

2. 对称性：若 $ a≡b\mod (m) $ ，则 $ b≡a \mod (m) $ 。

3. 传递性：若 $ a≡b\mod (m) $ ， $ b≡c\mod (m) $ ，则 $ a≡c\mod (m) $ 。

4. 同余式相加：若 $ a≡b\mod (m) $ ， $ c≡d\mod (m) $ ，则 $ ac≡bd\mod (m) $ 。

5. 同余式相乘：若 $ a≡b\mod (m) $ ， $ c≡d\mod (m) $ ，则 $ ac≡bd\mod (m) $ 。

   推论：若 $ a≡b\mod (m) $ 则有 $ a^n≡dn\mod (m) \quad n\in {Z^\times } $ 。

6. 线性运算：如果 $ a ≡ b \mod (m) $ ， $ c ≡ d \mod (m) $ ，那么有：

   $ (1): $ $ a ± c ≡ b ± d \mod (m) $ ；

   $ (2): $ $ a \times c ≡ b \times d \mod (m) $ 。

7. 模数的除法：若 $ ac = bc\mod (m) $ ， $ （m，c)=d $ ，则 $ a\equiv b\mod (m / d) $ ；
   特别地，当 $ (m，c)=1 $ 时，有 $ a=b\mod (m) $ 。

8. 模数的乘法：若 $ a=b\mod (m) $ ，则有 $ ak=bk\mod(mk) $ ，其中 $ k $ 为大于零的整数；
   推论：若 $ a\equiv b(modm) $ ， $ d $ 为 $ a $ , $ b $ 及 $ m $ 的任一正公约数， 则 $ a /d = b /d\mod(m/d) $ 。

9. 传递性2：若 $ a\equiv b\mod (m) $ ，则有 $ a\equiv b \mod (i\times m) \quad i\in {Z^\times } $ 。

10. 传递性3：若 $ a\equiv b\mod (m) $ ，且 $ d|m $ ,则 $ a=b\mod (d ) $ 。

同余证一些特殊数的整除特征：

例：一个正整数 a 能被 9 整除的特征是 a 的各个数位上数字之和能被 9 整除．应用：弃九法（高效判断两数之积是否等于第三个数）（同理还可证 7 11 与 13 也有类似特征）。