摘要：
描述：给定总金额为A 的一张纸币，现要兑换成面额分别为a1, a2,…, an 的硬币。硬币兑换问题是用最少枚数的硬币来兑换总金额为A 的纸币。如 a = {1, 2, 5}，兑换6元则要2枚硬币（1和5）。根据特定的a，有可能可以直接用贪心算法每次都选取可用的最大硬币值。但对于一些例子，会出现错误情况。如 a = {1, 4, 5}，兑换8元。若直接选取最大值，则需要4枚（1个5和3个1），但显然最优值应为2枚（2个4）。对于兑换n元的硬币的最优情况，可以遍历列表 a ，分别选取1个其面值的硬币，再从中挑出最优结果，此时 f(n) = min{f(n-ai)+1}。而每个之前算法的结果都可能 阅读全文
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问题：一个工厂有两条装配线a1, a2，每条装配线有n个装配站，每个编号对等的装配站功能相同。机器只要依次通过编号为1,2,...,n的装配站即可加工完成。已知两条装配线各个装配站装配所需的时间即a1,1,a1,2,...,a1,n, a2,1,a2,2,...,a2,n, 进入装配线所需时间e1,e2，离开装配线所需时间x1,x2。有时候为了加快装配进度，可以将部分完成的机器从一条装配线移到另一条装配线，所需时间分别为t1,1,t1,2,...,t1,n-1, t2,1,t2,2,...,t2,n-1. 求机器制造所需的最短时间。算法基本思路：1.计算最优解即最短时间；要求最短时间，可以看作 阅读全文
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定义：一个包含n个数的序列a0, a1, ... , an-1，求序列的最长非降（>=）子序列及其长度。如：序列5, 3, 4, 9, 6, 8，此最大非降子序列长度为4，子序列为3,4,6,8.（子序列也可能不唯一）运用动态规划，可以构造时间复杂度为O(n2)的算法。算法基本思路：1.打表，获取最长非降子序列的长度；要构造最长非降子序列，可知此序列一定是以序列中某个数作为结尾（好像是废话，但就是那样）。因此，构造表ml[0...n-1]，ml[i] 表示前 i 个数以a[i] 为结尾的最长非降子序列的长度。枚举 j (0 ml[i]){ ml[i] =... 阅读全文
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背包问题：n种物品，每种物品有重量w和价值v，背包所能承受的最大重量为c。如何挑选物品可以使总物品的价值最大。0-1背包问题：限定每种物品的个数只能是0或1.如：5个物品，质量分别为3,5,7,8,9，价值分别为4,6,7,9,10。背包所能承受重量为22.给物品从0开始编号，挑选物品1,3,4（价值分别为6,9,10）时，总价值最大为25，此时重量为22.运用动态规划思想，可以构造有效的方法。算法基本思路：1.构造最优表，获取最大价值；构造表mv[0...n][0...c]，mv[i][j] 表示 前 i 项物品（即0到i-1）中挑选物品放入承受重量为 j 的最大价值。显然，当 i 为0即没 阅读全文
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定义：设G是一个有向图，其中每条边(i, j)都有一个非负的长度L[i, j]，若点i 到点j 没有边相连，则设L[i, j] =∞. 要找出每个顶点到其他所有顶点的最短路径所对应的长度。如：则，L： 0 2 9 8 0 6 1 ∞ 0运用Floyd-Warshall算法，时间复杂度为O(n3)，空间复杂度为O(n2).算法基本思路：引理，点 i 到点 j 的最短路径可能是点 i 到点 j 的直接路径长度，也可能是以某点 k 为中间节点，i, k, j 的路径长度。采用自底向上逐步求解的方法，设D[i, j, k] 表示 点 i 到 j 以点集[0..k] 为中间节点的... 阅读全文
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问题：n个矩阵M1M2……Mn链乘法的耗费，取决于n-1个乘法执行的顺序。现在要找到其最小次数的乘法执行顺序。如，n = 4，有以下可能的顺序：(M1(M2(M3M4)))(M1((M2M3)M4))((M1M2)(M3M4))(((M1M2)M3)M4)((M1(M2M3))M4)如果使用暴力算法枚举，时间复杂度为O(2n)。运用动态规划技术，可以将时间复杂度降为O(n3).算法基本思路：1.得到最小乘法次数(1)将矩阵序列在其中找出某个k位置，将其分为两部分；分别求出这两部分的最优解，然后再将其加上这两部分相乘的耗费，就是用当前划分所需要的乘法次数；依次枚举按k划分，比较并取最小乘法次数。 阅读全文
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问题：给定两个字符串，求出它们的最长公共子序列的长度。如：a = "xzyzzyx", b = "zxyyzxz"，则其最长公共子序列的长度为4，"zyyx".注意：最长公共子序列不一定要连续（连续的叫最长公共子串），最长公共子序列也可能不唯一。如上面也可以是："xyyx".穷举一般都能解决问题，但效率过低（指数时间），这个在密码学上叫计算上不可行。我们可以运用动态规划的思想，可以在多项式时间内解决。算法基本思路：1.求最长公共子序列的长度。给定字符串 a 和 b，可知它们的长度 alen 和 blen。设有二维数 阅读全文
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问题：设S是平面上n个点的集合，考虑在S种找到一个点对p和q，使其距离最短。求出其最短距离。暴力检查每个点对并记录距离后可以选出最短距离，但时间复杂度是O(n2)。这里可以运用一种分治的算法，使得时间复杂度降为O(nlogn)。算法基本思路：1.将所有点排序，优先考虑x，若x相等，则考虑y；2.找到中间位置，将集合一分为二，在左边范围内求出最短距离L，在右边范围内求出最短距离R（集合一直划分至三个点后，直接暴力求解）；3.现在考虑左边的点和右边的点组合能否产生更短的距离。因为现在知道L和R，求出两者中的较小值M，在中间位置各取左边M距离和右边M距离的空间，把其中的左边的点与右边的点暴力求距离值 阅读全文
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定义：序列中的多数元素是指在一个元素个数为n的序列中，多数元素出现次数大于[n/2].寻找元素方法很多：1.可以暴力搜索，将每个元素都与其他元素作比较，然后统计该元素出现的次数，时间复杂度为O(n2)；2.可以先排序，然后再统计每个元素出现的次数，时间复杂度为O(nlogn)；3.可以寻找中间值元素，因为多数元素在序列中必为中间值元素，时间复杂度是O(n)；（寻找中间值元素可以运用寻找第k小元素算法：http://www.cnblogs.com/7hat/p/3411756.html）这里要介绍第4种方法，时间复杂度也是O(n)，但是隐藏常数会比寻找中间值的方法要小。算法基于以下观察：在原序列 阅读全文
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要在一个序列里找出第K小元素，可以用排序算法，然后再找。可以证明，排序算法的上界为O(nlogn)。在这里，给出两种可以在线性时间内找出第K小元素的方法。方法1：(1) 选定一个比较小的阈值（如44），当序列元素小于阈值时，直接用排序算法来做；(2) 当序列元素大于阈值时，把元素划分为以5个元素为一组，每一组元素自身作排序，然后挑出每一组元素的中间值，再在所有的中间值中，递归调用本算法，挑出中间值，可以认为，此值大约为整个序列的中间值（当序列元素个数不是5的倍数时，最后一组不足5的舍掉，这个对中间值影响不大）；（图片参考《ALGORITHMS DESIGN TECHNIQUES AND ANA 阅读全文