2022 年 7月随笔档案 - 7KByte

摘要：给定

N

$N$ 堆石子，第

i

$i$ 堆石子有

a_{i}

$a_i$ 个，每次可以从最多

k

$k$ 堆中拿走任意个，先拿完的人胜利。求必胜态。结论先手必败，当且仅当将每个

a_{i}

$a_i$ 写成二进制，对于每一个二进制位，这一位为

1

$1$ 的

i

$i$ 的个数为

s

$s$ ，

s mod (k + 1) = 0

$s\bmod (k+1) = 0$ 。我们带入阅读全文

posted @ 2022-07-30 16:41 7KByte 阅读(697) 评论(0) 推荐(2) 编辑

【笔记】广义串并联图

摘要：定义，不存在

4

$4$ 个点使得任意两点之间存在一条简单路径，且这些路径不在

4

$4$ 个点之外的地方相交。这样的图有一些性质。边数

M

$M$ 小于两倍点数

N

$N$ ，且图为平面图。这样的图可以通过删除度数为

1

$1$ 的点，将度数为

2

$2$ 的点连着的两条边缩成一条边，将重边复合成一条边这三种方式缩成阅读全文

posted @ 2022-07-26 15:58 7KByte 阅读(485) 评论(0) 推荐(2) 编辑

【笔记】斐波那契博弈

摘要：给定

n

$n$ 个石子，先手可以取任意个石子，但不能一次取完，之后轮流操作，每个人最多可以取走前面一个人取走石子数的两倍，取走最后一个棋子的人胜利。结论是先手必败，当且仅当

n

$n$ 是斐波那契数。首先我们证明

n

$n$ 为斐波那契数时先手必败，我们另 $n = F_i = F_{i-1} + F_{ 阅读全文

posted @ 2022-07-25 17:10 7KByte 阅读(87) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【笔记】范德蒙德矩阵

摘要：定义，形如下面的矩阵，其中

a_{i}

$a_i$ 互不相同。 $$\begin{bmatrix}1&1&\cdots&1\a_1&a_2&\cdots &a_n\a_1^2 & a_2^n & \cdots& a_n^2\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\a_1^{n - 1}&a_2^ 阅读全文

posted @ 2022-07-24 09:39 7KByte 阅读(400) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【笔记】线头 DP/【题解】[BalticOI2013] Vim

摘要：线头 DP 可以理解为线性插头 DP。对于这道题，我们先将问题转化一下，将所有

"e"

$\texttt{"e"}$ 去掉，问题转化为每次向后面跳若干格子，图中不能经过与跳跃结束的格子相同的位置，或者向前移动一格，标记了一些必须经过的格子，求代价最小的路径。显然是每次后跳若干次，然后向前移动一段，向前移阅读全文

posted @ 2022-07-23 19:03 7KByte 阅读(241) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【题解】[CEOI2014] Cake

摘要：先不考虑修改操作，我们发现可以将序列从

a

$a$ 的位置分开，两边独立。我们只考虑左边的情况，右边同理。如果两个相邻的位置满足

d_{i} < d_{i + 1}

$d_i < d_{i + 1}$ ，那么

i + 1

$i + 1$ 被吃了，

i

$i$ 将紧接着被吃掉，所以可以将它们缩成一个点，相当于每个位置都会和它前面的最大值合并，最后得到若干连续阅读全文

posted @ 2022-07-22 15:13 7KByte 阅读(52) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【题解】[CERC2013] Escape

摘要：给定一棵树，每个点上有权值

u_{i}

$u_i$ ，

| u | \leq 10^{6}

$|u|\le 10^6$ ，初始化

s u m = 0

$sum = 0$ ，每进入一个结点令

s u m \leftarrow s u m + u_{i}

$sum \leftarrow sum + u_i$ ，并且令

u_{i} \leftarrow 0

$u_i\leftarrow 0$ ，一个点可以重复经过，问能否从

1 \to t

$1\to t$ 。非常妙的贪心模拟题。我们先简单模拟以阅读全文

posted @ 2022-07-21 19:22 7KByte 阅读(71) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【笔记】一类容斥问题

摘要：P6478 [NOI Online #2 提高组] 游戏 P4859 已经没有什么好害怕的了我们发现这类问题有一个共同点，就是求恰好有

k

$k$ 组配对的方案数。直接求不好求，我们计算从钦定

i

$i$ 组必须配对，其余任意配对的答案为

f_{i}

$f_{i}$ ，那么显然有 $$f_i = \sum\limit 阅读全文

posted @ 2022-07-21 15:41 7KByte 阅读(76) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【题解】[BalticOI 2010 Day2] Mines

摘要：给定一个

N \times M

$N\times M$ 的矩阵

A

$A$ ，你需要构造一个

0 / 1

$0/1$ 矩阵

B

$B$ ，满足

A_{i, j}

$A_{i,j}$ 恰好等于它自己和相邻

8

$8$ 个位置的

B

$B$ 的和。很适合比赛的一道提交答案题。我们发现非常类似扫雷游戏，那么我们考虑从一个方向递推过去。首先枚举左上角四个格子中的数，最多有阅读全文

posted @ 2022-07-21 11:55 7KByte 阅读(51) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【题解】[USACO20DEC] Bovine Genetics G

摘要：虽然题目不是很难，但还是记录一下。对于初始串

S

$S$ ，划分的方案是唯一的，所以编辑后的

T

$T$ 是唯一的。我们猜想

T

$T$ 的每一种合法划分对应一个不同的

S

$S$ 。我开始一直试图证明不存在两种划分使得

T

$T$ 还原回去后相同，但是一直没有结果。后来才意识到有点降智。我们应该反证，假设存在相同，阅读全文

posted @ 2022-07-20 14:54 7KByte 阅读(76) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【题解】CF1707D-Partial Virtual Trees

摘要：给定一格大小为

n

$n$ 的树，每次操作可以将树变成一棵它自己的一棵虚树，不能不变。对每个

k \in [1, n - 1]

$k\in[1,n - 1]$ 求出恰好

k

$k$ 次将树变成

1

$1$ 号点的方案，

n \leq 2000

$n\le 2000$ 。对于不能不变的条件，我们简单容斥掉，我们记

f_{k}

$f_k$ 为可以不变的方案，显然有 $f_k = \su 阅读全文

posted @ 2022-07-19 21:20 7KByte 阅读(75) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【题解】[BalkanOI 2012] handsome

摘要：给定

n

$n$ 和长度为

n

$n$ 的排列

p

$p$ ，和

m

$m$ 个长度为

2

$2$ 的串，和一个序列

s

$s$ ，求有多少长度为

n

$n$ 的序列

a

$a$ ，使得

a_{i} \in 1, 2, 3

$a_i \in {1,2,3}$ ，

a

$a$ 中不存在

m

$m$ 个子串，并且求出序列

b

$b$ 使得

b_{i} = a_{p_{i}}

$b_i = a_{p_i}$ ，满足

b

$b$ 的字典阅读全文

posted @ 2022-07-19 15:13 7KByte 阅读(50) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【题解】[BalkanOI 2012] Spiral

摘要：给定一个

N \times N

$N\times N$ 的网格，有

K

$K$ 个格子是障碍，你需要找出最长的螺旋路径。螺旋路径的定义是从一个点出发，向一个方向走最少一格，然后右转

90

$90$ °，一共右转三次，走了四段，且一格格子最多经过一次，

N \leq 1000, K \leq 2000

$N\le 1000,K\le 2000$ 。不失一般性，我们可以只统计下面这种情阅读全文

posted @ 2022-07-19 15:04 7KByte 阅读(58) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【题解】ARC144D - AND OR Equation

摘要：给定

n, k

$n, k$ ，求有多少种方案，使得

\forall 0 \leq i \leq 2^{n} - 1, 0 \leq f (i) \leq K

$\forall 0 \le i \le 2^n - 1, 0\le f(i)\le K$ ，满足

f (x) + f (y) = f (x and y) + f (x or y)

$f(x) + f(y) = f(x \operatorname{and} y) + f(x \operatorname{or}y)$ 。考虑 $x = 2^a 阅读全文

posted @ 2022-07-18 09:43 7KByte 阅读(205) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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