2021 年 12月随笔档案 - 7KByte

摘要：首先对于排列的每个数，只有部分数会对

S

$S$ 产生贡献。所以不难得到一个直接 DP 的方法，我们定义状态

f_{i, j, 0 / 1}

$f_{i,j,0/1}$ 表示

x

$x$ 左边选了

i

$i$ 个，

x

$x$ 右边选了

y

$y$ 个，

S

$S$ 结尾是 "HI" 还是 "LO"，产生了多少 "HILO"。但阅读全文

posted @ 2021-12-26 17:00 7KByte 阅读(224) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【笔记】莫队

摘要：来自

SharpnessV

$\texttt{SharpnessV}$ 的省选复习计划中的莫队。莫队算法是对一类暴力的优化。如果我们能够在

O (1)

$\rm O(1)$ 的时间内由

[l, r]

$[l,r]$ 的答案推出

[l \pm 1, r \pm 1]

$[l\pm1,r\pm 1]$ 的答案，就可以考虑使用莫队。我们对询问排序，首先将序列分为$\sqrt{ 阅读全文

posted @ 2021-12-16 22:36 7KByte 阅读(150) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【笔记】二分图/网络流

摘要：来自

SharpnessV

$\texttt{SharpnessV}$ 的省选复习计划中的二分图/网络流。【模板】二分图最大匹配给定一个二分图，需要找出最多的不相交的边。比较简单的方法是匈牙利算法，每次找增广路然后直接增广即可。时间复杂度是

O (N M)

$\rm O(NM)$ 。 #include<cstdio> #include<c 阅读全文

posted @ 2021-12-16 22:35 7KByte 阅读(126) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【笔记】最短路问题

摘要：来自

SharpnessV

$\texttt{SharpnessV}$ 的省选复习计划中的最短路问题。最短路是图论一个经典模型，也是OI种的常考模型。例题1：单源最短路径对于只有正边权的图，

Dijkstra

$\texttt{Dijkstra}$ 是目前最优的做法。我们用堆维护当前图中

Distance

$\texttt{Distance}$ 阅读全文

posted @ 2021-12-16 22:35 7KByte 阅读(204) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【笔记】虚树/长链剖分

摘要：来自

SharpnessV

$\texttt{SharpnessV}$ 的省选复习计划中的虚树/长链剖分。虚树和长链剖分都可用于一类树形

D P

$\rm DP$ 的优化。 Part 1：虚树特点，多次询问，每次询问包括树上的

k

$k$ 个点，

\sum k \leq 2 \times 10^{6}

$\sum k \le 2\times 10^6$ 在可承受范围内。对于每个询问，只包括阅读全文

posted @ 2021-12-16 22:34 7KByte 阅读(147) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【笔记】矩阵/线性基

摘要：来自

SharpnessV

$\texttt{SharpnessV}$ 的省选复习计划中的矩阵/线性基。 P3390 【模板】矩阵快速幂模板。矩阵乘法是

N 3

$N3$ 的，快速幂是

\log T

$\log T$ ，总的时间复杂度为

O (N 3 \log T)

$\rm O(N3\log T)$ 。 #include<bits/stdc++.h> #define rep(i,a 阅读全文

posted @ 2021-12-16 17:29 7KByte 阅读(105) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【笔记】生成树

摘要：来自

SharpnessV

$\texttt{SharpnessV}$ 的省选复习计划中的生成树。 P3366 【模板】最小生成树从小到大排序，能加边则加边。结论：任意一条没有加的边

u - v

$u -v$ ，最小生成树上

u

$u$ 和

v

$v$ 之间路径上的边权一定不大于当前边的边权。证明：反正，如果存在一条大于，我们可以加入当前边而删去最大阅读全文

posted @ 2021-12-16 17:28 7KByte 阅读(87) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【笔记】字符串

摘要：来自

SharpnessV

$\texttt{SharpnessV}$ 的省选复习计划中的字符串。 P3370 【模板】字符串哈希字符串哈希，一般

H (S) = \sum_{i = 1}^{L e n} b a s^{L e n - i} \times S_{i} mod P

$\rm H(S)=\sum\limits_{i=1}^{Len}bas^{Len-i}\times S_i \bmod P$ 。这样我们对一个字符串预处理出它的前缀哈希值和阅读全文

posted @ 2021-12-16 17:27 7KByte 阅读(367) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【笔记】树上问题

摘要：来自

SharpnessV

$\texttt{SharpnessV}$ 的省选复习计划中的树上问题。树上问题是

O I

$\rm OI$ 中必考的难点。 P5018 [NOIP2018 普及组] 对称二叉树判断带点权有根二叉树是否同构。因为有根且是二叉树，这极大简化了判断同构的过程。我们定义函数 bool check(int x 阅读全文

posted @ 2021-12-16 17:26 7KByte 阅读(213) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【笔记】基础多项式

摘要：来自

SharpnessV

$\texttt{SharpnessV}$ 的省选复习计划中的基础多项式。 P3803 【模板】多项式乘法（FFT）快速傅里叶变换

F F T

$\rm FFT$ ，时间复杂度

O (N \log N)

$\rm O(N\log N)$ 。 #include<bits/stdc++.h> #define rep(i,a,b) for(int 阅读全文

posted @ 2021-12-16 17:25 7KByte 阅读(83) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【笔记】联通分量/2-SAT

摘要：P3387 【模板】缩点

T a r j a n

$\rm Tarjan$ 算法求线性求强连通分量。算法的核心在于时间戳和栈的维护。我们将每个强连通分量缩成一个点，将得到一个有向无环图

D A G

$\rm DAG$ ，就可以在上面跑

D P

$\rm DP$ 。 #include<bits/stdc++.h> #define rep(i,a 阅读全文

posted @ 2021-12-16 17:24 7KByte 阅读(84) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【笔记】概率与期望

摘要：P5104 红包发红包在

[0, w] \(中 等 概 率 发 出 一 个 红 包 ， 期 望 发 出 一 个 \) \frac{w}{2} \(的 红 包 ， 即 可 以 看 成 每 次 发 出 \) \frac{w}{2}

$[0,w]$中等概率发出一个红包，期望发出一个$\dfrac{w}{2}$的红包，即可以看成每次发出$\dfrac{w}{2}$ 的红包。答案就是

w \times 2^{- k}

$w\times 2^{-k}$ 。 Code P7385 「EZEC-6」跳一跳期望$E=\sum p(x)v 阅读全文

posted @ 2021-12-16 17:24 7KByte 阅读(215) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【笔记】基础数论

摘要：来自

SharpnessV

$\texttt{SharpnessV}$ 的省选复习计划中的基础数论。 CF1355F Guess Divisors Count 交互题，给定

X \leq 10^{9} \(， 每 次 可 以 询 问 \) gcd (X, Q_{i})

$X\le10^{9}$，每次可以询问$\gcd (X,Q_i)$ ,

Q_{i} \leq 10^{18}

$Q_i\le 10^{18}$ ，并在

22

$22$ 次询问内求出

X

$X$ 阅读全文

posted @ 2021-12-16 17:23 7KByte 阅读(168) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【题解】组合数学

摘要：来自

SharpnessV

$\texttt{SharpnessV}$ 的省选复习计划中的组合数学。由于作者非常菜所以只能随便写点基础的。 P3197 [HNOI2008]越狱简单数数。越狱的方案数等于总方案数减没有越狱的方案数。所以

A n s = m n - m \times (m - 1) n - 1

$Ans=mn-m\times (m-1){n-1}$ 。 #include<bits 阅读全文

posted @ 2021-12-16 17:22 7KByte 阅读(348) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【笔记】分治算法

摘要：来自

SharpnessV

$\texttt{SharpnessV}$ 的省选复习计划中的分治算法。分治，顾名思义，分而治之，一般能将

N^{2}

$N^2$ 的时间复杂度优化至

N \log N

$N \log N$ 或

N \log^{2} N

$N\log^2 N$ 。 P7415 [USACO21FEB] Count the Cows G 观察一个对于边长为$3^n 阅读全文

posted @ 2021-12-16 17:21 7KByte 阅读(252) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【笔记】竞赛图

摘要：才知道有这么个神奇的玩意。定义，

n

$n$ 个点，任意两点之间存在且恰好存在一条有向边的图成为

n

$n$ 阶竞赛图。性质

1

$1$ ：一定存在一条哈密顿路径。证明：数学归纳法，

n = 1

$n=1$ 显然成立，当

n - 1

$n-1$ 成立时的哈密顿路径，存在相邻两点

v_{i}, v_{i + 1}

$v_i,v_{i+1}$ ，使得 \ 阅读全文

posted @ 2021-12-16 17:18 7KByte 阅读(1205) 评论(0) 推荐(1) 编辑

【题解】ABC231G - Balls in Boxes & H - Minimum Coloring

摘要：G 想到一个非常神奇的做法。如果我们令第

i

$i$ 个位置放入了

b_{i}

$b_i$ 个球，那么总代价一定是

\prod (a_{i} + b_{i})

$\prod(a_i + b_i)$ 。总方案数是

n^{k}

$n^k$ ，我们只用求所有方案的代价之和。对于一个代价，我们将它拆开，组合意义等价于选出一些

a_{i}

$a_i$ ，剩下的选 \(b_ 阅读全文

posted @ 2021-12-16 16:55 7KByte 阅读(143) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【题解】ABC228G - Digits on Grid

摘要：给定一个

H \times W

$H\times W$ 的数字矩阵，一共走

2 N

$2N$ 步，任选一个起点，奇数步可以移动到同行的一个点，偶数步移动到同列的一个点，将路径上的数记录下来得到一个长度为

2 N

$2N$ 的序列(不包括起点)，问有多少种可能的序列。观察到行数和列数很小，考虑可以状态压缩。经过思考后我们可阅读全文

posted @ 2021-12-02 21:30 7KByte 阅读(168) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【题解】[NOIP2021] 棋局

摘要：下午 3 点肝到晚上 7 点，确实毒瘤。思维难度不是很大？首先对于

0 / 1

$0/1$ 边直接特判处理。观察部分分，如果不存在

3

$3$ 边，我们直接用 set 维护每个点只走

2

$2$ 能够到达的最右端和最左端即可，非常好写。如果不存在

2

$2$ 边，我们需要维护

3

$3$ 边能到达的阅读全文

posted @ 2021-12-02 19:20 7KByte 阅读(589) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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