【笔记】斐波那契博弈

给定 \(n\) 个石子，先手可以取任意个石子，但不能一次取完，之后轮流操作，每个人最多可以取走前面一个人取走石子数的两倍，取走最后一个棋子的人胜利。

结论是先手必败，当且仅当 \(n\) 是斐波那契数。

首先我们证明 \(n\) 为斐波那契数时先手必败，我们另 \(n = F_i = F_{i-1} + F_{i - 2}\)，将石子分为 \(F_{i-1},F_{i-2}\) 两堆，如果先手取走 \(\ge F_{i - 2}\)，后手可以直接取完，成立。否则第一次取走 \(< F_{i - 2}\)，讨论第一次取走的和 \(\frac{1}{3}F_{i - 2}\) 的大小关系，即可归纳下去。

然后对于 \(n\) 不是斐波那契数的情况，可以唯一表示为若干个 \(F\) 的和使得不存在相邻的 \(F\)，那么我们第一次直接取完最小的 \(F\)，就转化为若干个独立的 \(n\) 是斐波那契数的情况，先手必胜。