【笔记】一类容斥问题

P6478 [NOI Online #2 提高组] 游戏

P4859 已经没有什么好害怕的了

我们发现这类问题有一个共同点，就是求恰好有 \(k\) 组配对的方案数。

直接求不好求，我们计算从钦定 \(i\) 组必须配对，其余任意配对的答案为 \(f_{i}\)，那么显然有

\[f_i = \sum\limits_{j = i}^n\binom{j}{i}ans_j \]

这个式子的组合意义是对于任意一个钦定了 \(i\) 组配对的方案，会被每个包含这 \(i\) 组配对的方案计算一次，那么我们枚举包含的方案有 \(j\) 组配对，即可得到上面式子。

我们再对这个式子容斥以下，我们容斥的属性是 \(i\) 组配对之外的某组合法配对，可以得到以下式子。

\[ans_i = \sum\limits_{j = i}^n (-1)^{j - i}\binom{j}{i}f_j \]