【题解】ARC144D - AND OR Equation

给定 \(n, k\)，求有多少种方案，使得 \(\forall 0 \le i \le 2^n - 1, 0\le f(i)\le K\)，满足 \(f(x) + f(y) = f(x \operatorname{and} y) + f(x \operatorname{or}y)\)。

考虑 \(x = 2^a,y = 2^b,a\neq b\) 的情况，有 \(f(x+y) = f(x) + f(y) - f(0)\)。

因此我们可以直接归纳到任意情况，令 \(c = f(0), g(i) = f(2^i) - c\)，那么有 \(f(s) = c + \sum\limits_{i\in s} g(i)\)。

所以任意一组 \(\{c, g(0),g(1),\cdots,g(n - 1)\}\) 对应一个 \(f\) 的方案。需要满足 \(0\le c\le k\)，且选出若干个 \(g\) 的和满足 \(\in[-c,k - c]\)。

简单贪心以下，我们求出 $<0 $ 的 \(g\) 的和为 \(s^+\)，其余的 \(g\) 的和为 \(s ^ -\)，那么我们得到不等式 \(-s^- \le c \le k - s ^+\)，同时一定有 \(-s^- \ge 0,k - s^+ \le k\)，所以对于一个 \((s^-,s^+)\) 的方案，\(c\) 的有 \(\max(0, k - s^+ + s^- + 1)\) 种方案。

由于 \(\sum |g| = s^+ - s^-\)，所以我们求 \(\sum (k - \sum|g| + 1)\)，用组合意义，相当于捆绑求一组 \(g\) 和一个 \(\sum |g| \le a \le k + 1\) 的方案，可以用插板法。最后再固定每个 \(g\) 的符号，所以我们要枚举 \(g\) 中 \(0\) 的个数。

\[Ans = \sum \limits_{i = 0}^n 2^i\binom{n}{i}\binom{k + 1}{i + 1} \]

#define N 300005
LL n, k, m, u[N], fc[N], iv[N];
int C(int x,int y){return fc[x] * 1LL * iv[y] % P * iv[x - y] % P;}
int D(int x){return u[x] * 1LL * iv[x] % P;}
int main() {
	read(n, k), m = n + 1;
	fc[0] = 1; rp(i, m)fc[i] = fc[i - 1] * (LL)i % P;
	iv[m] = Pow(fc[m], P - 2); pr(i, m)iv[i - 1] = iv[i] * (LL)i % P;
	u[0] = 1; rp(i, m)u[i] = (k + 1 - i + 1) % P * u[i - 1] % P;
	int ans = 0, w = 1;
	rep(i, 0, n)ad(ans, w * 1LL * C(n, i) % P * D(i + 1) % P), ad(w, w);
	cout << ans << endl;
	return 0;
}