【笔记】斐波那契数列
递推式：
\[F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2}
\]
恒等式 \(1\)：
\[F_{a + b} = F_a F_{b + 1} + F_{a - 1}F_b
\]
恒等式 \(1\) 可以推出以下结论：
\[F_{2n} = F_nF_{n + 1} + F_{n - 1}F_{n}
\]
\[F_{2n+1} = F^2_{n + 1} + F^2_{n}
\]
\[\gcd(F_{a+b}, F_a) = \gcd(F_a,F_b)
\]
通项式：
\[F_n = \dfrac{1}{\sqrt 5}[(\dfrac{1 + \sqrt 5}{2}) ^ n - (\dfrac{1 - \sqrt 5}{2}) ^ n]
\]
可以扩域到 \(a + b\sqrt 5\)，\(\sqrt 5\) 在 \(\bmod 10^9 + 9\) 意义下有解为 \(383008016\)，如果模数是 \(10^9 + 9\) 的斐波那契题就需要注意了。
通项式可以推出：
\[F^2_n - F_{n + 1}F_{n - 1} = (-1) ^ {n + 1}
\]
