【题解】[LNOI2022] 串

\(T_0\) 是 \(S\) 的子串；

\(\forall 1 \le i \le l\)，\(\lvert T_i \rvert - \lvert T_{i - 1} \rvert = 1\)；

\(\forall 1 \le i \le l\)，存在 \(S\) 的一个长度为 \(\lvert T_i \rvert + 1\) 的子串 \(S'_i\)，使得 \(S'_i\) 的长度为 \(\lvert T_{i - 1} \rvert\) 的前缀为 \(T_{i - 1}\)，长度为 \(\lvert T_i \rvert\) 的后缀为 \(T_i\)。

求最大的 \(l\)。

看起来这个限制条件非常怪异，我们手动模拟一下，发现就是扩展串的过程。从当前串 \([l,r]\)，删除第一个位置，向后扩展两个位置，得到 \([l + 1, r + 2]\)。

所以我们肯定是从空串开始扩展最优，直接从 \(S\) 开始扩展可以得到 \(|S|/2\) 的答案。

考虑存在两个子串相同的情况，比如 \([l_1,r_1]\) 和 \([l_2, r_2]\)，不妨设 \(l1 < l2\)，那么我们扩展到 \([l_2,x] (x \le r_2)\) 后，可以跳到 \([l_1,r_1]\) 继续向后扩展，然后再次到达 \(l_2\)，跳回到 \(l_1\)。一直持续到长度 \(> r - l + 1\) 结束。

那么最优的情况就是跳回到 \([l_1,r_1]\) 时，长度恰好为 \(r-l+1\)，此时答案是 \(r - l + 1 + \left\lfloor\dfrac{|S| - r}{2}\right\rfloor\)。

如果使用多对相同的子串呢？我们观察到最优情况下，长度恰好取到 \(r-l+1\) 且一定能取到，所以使用多对子串不会比只使用最后一对子串更优，所以只用考虑一对相同子串的情况。

这些都可以使用后缀自动机快速求出，时间复杂度 \(\mathcal{O}(|S|)\)。

#define N 1000005
struct SAM{
	int fa[N], nxt[N][26], sz[N], len[N], w[N], lst, idx;
	void init(){
		rep(i, 0, idx)
			fa[i] = sz[i] = w[i] = 0, memset(nxt[i], 0, sizeof(nxt[i]));
		fa[0] = ~0, lst = idx = 0;
	}
	void extend(int ch){
		int cur = ++idx, p = lst; len[cur] = w[cur] = len[p] + 1;
		while(~p && !nxt[p][ch])nxt[p][ch] = cur, p = fa[p];
		if(-1 == p)fa[cur] = 0;
		else{
			int q = nxt[p][ch];
			if(len[p] + 1 == len[q])fa[cur] = q;
			else{
				int now = ++idx; len[now] = len[p] + 1, w[now] = w[q];
				rep(i, 0, 25)nxt[now][i] = nxt[q][i];
				fa[now] = fa[q], fa[q] = fa[cur] = now;
				while(~p && nxt[p][ch] == q)nxt[p][ch] = now, p = fa[p];
			}
		}sz[lst = cur]++;
	}
	int c[N], b[N];
	void calc(){
		rp(i, idx)c[i] = 0;
		rp(i, idx)c[len[i]]++;
		rp(i, idx)c[i] += c[i - 1];
		rp(i, idx)b[c[len[i]]--] = i;
		pr(i, idx)sz[fa[b[i]]] += sz[b[i]];
		int n = len[lst], ans = n / 2;
		rp(i, idx)if(sz[i] > 1)cmx(ans, len[i] + (n - w[i]) / 2);
		printf("%d\n", ans);
	}
}w;
char s[N];
int main() {
	int T; read(T);
	while(T--){
		w.init();
		scanf("%s", s + 1);
		int n = strlen(s + 1);
		rp(i, n)w.extend(s[i] - 'a');
		w.calc();
	}
	return 0;
}