【题解】CF1667E-Centroid Probabilities

求对于所有大小为 $n$ 的树，满足每个结点 $2\le i \le n$ 向小于 $i$ 的点连恰好一条边，对于每个点 $x$ 求出有多少颗树以 $x$ 为重心。

有一个非常妙的转化，我们求出 $f_i$ 表示以 $i$ 为根的子树大小 $\ge \dfrac{n+1}{2}$ 的方案，那么 $i$ 为重心的方案就是 $f_i$ 种方案中子树中所有点子树大小 $< \dfrac{n + 1}{2}$ 的方案。

也就是如果我们求出了 $f$，那么就可以容斥出 $ans$，其中

$$ans_i = f_i - \frac{1}{i}\sum\limits_{j > i}ans_j$$

这个式子意义是用 $f_i$，减去重心出现在子树里的方案，每一个出现在子树里的方案，我们记重心为 $x$，它第一个 $\le i$ 的祖先是 $y$，那么所有 $y\in [1,i]$ 的方案是相同的。

那么怎么求出 $f_i$，直接枚举 $j$ 表示 $i$ 的子树大小，式子就是若干个阶乘，算一算即可。我们令 $m=\dfrac{n + 1}{2}$

$$f_i = \sum\limits_{j \ge m}\binom{n-i}{j - 1}(n-j-1)!(i-1)!(j-1)! = \dfrac{(n-i)!(n-m)!}{(n-m-i+1)!}$$

这样就可以 $\mathcal{O}(N)$ 算出答案。

#define N 200005
int n, s, m, fac[N], inv[N], iv[N], ed[N];

int main() {
	read(n), m = n / 2 + 1;
	fac[0] = 1; rp(i, n)fac[i] = fac[i - 1] * 1LL * i % P;
	inv[n] = Pow(fac[n], P - 2); pr(i, n)inv[i - 1] = inv[i] * 1LL * i % P;
	iv[1] = 1; rep(i, 2, n)iv[i] = P - iv[P % i] * 1LL * (P / i) % P;
	pr(i, n - m + 1){
		int w = fac[n - i] * 1LL * fac[n - m] % P * inv[n - i - m + 1] % P;
		su(w, iv[i] * 1LL * s % P);
		ed[i] = w, ad(s, w);
	}
	rp(i, n)printf("%d ", ed[i]); el;
	return 0;
}