【笔记】启发式合并

来自$\texttt{SharpnessV}$的省选复习计划中的启发式合并。

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启发式合并用于解决这样一类问题

给定$n$个集合，每个集合开始只有$1$个数，你需要支持每次合并两个集合

直接做显然是$N^2$的，但我们可以稍加优化。

每次合并，我们都选择较小的一个集合，将它合并到较大的集合上。

看上去本质上没有改变，但时间复杂度直接由 $N^2$ 降低至 $N\log$ 。

为什么复杂度是 $N \log$ 的，因为对于每个元素，每次合并一定是从小的集合合并到大的集合，所以合并后的集合大小一定翻倍，那么一个元素最多移动 $\log$ 次，总的时间复杂度为 $N\log$ 。

例题1

简述：给定 $N$ 个初始有 $1$ 个元素的栈，每次支持将一个栈合并到另一个栈（按栈的出入顺序）。

直接模拟不难做到$N^2$的复杂度。

观察一下发现这就是启发式合并的模型，考虑用启发式合并解决。

我们用双端队列模拟一个栈，开始队首对应栈顶。

启发式合并时，发现栈 $X\to Y$得到的栈正好是 $Y\to X$得到的栈的反序，所以我们对双端队列记录一个$op$表示队列里的元素是否反转。

代码

例题2

简述：支持连边操作和路径第$k$小操作，强制在线。

如果不强制在线我们可以将最终的树建出来，然后直接可持久化线段树。

如果强制在线，我们可以考虑动态建树，但由于连边后根会移动，所以我们需要对整棵树重新构建。

但观察一下可以发现，我们合并$X,Y$两棵树时，有一棵树可以不用改变，所以合并时我们直接暴力重构较小的树，时空复杂度为 $\rm O(N\log^2 N)$。

代码

例题3

不难发现对于一条直上直下的单链，有多少点就要划分多少段。

所以划分段数就是子树深度，我们用堆维护这些分段，然后启发式合并即可。

时间复杂度$\rm O(N\log^2N)$。

代码

例题4

简述：支持合并联通块和查询联通块第$k$小。

用平衡树维护联通块中所以值，然后直接启发式合并即可。

代码

例题5

简述：可持久化并查集

由于可持久化后不便于路径压缩，所以考虑启发式合并。并查集按深度启发式合并，同样可以得到$\rm O(N\log N)$的时间复杂度。

用可持久化线段树实现可持久化数组，然后时限并查集，时间复杂度$\rm O(N\log^2 N)$。

代码

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树上启发式合并，简称 DSU on Tree。

解决一类静态子树问题，我们按照以下顺序。

• 计算所有轻儿子贡献，并删除贡献
• 计算重儿子贡献，保留贡献
• 将轻儿子贡献合并到重儿子中
• 回答当前子树询问，回溯

不难发现一个节点会在重儿子的子树中总共计算一次，在每个轻儿子的子树中计算$1$次，但一个节点到根的作为轻儿子的次数不超过$\log N$，所以时间复杂度为$\rm O(N\log N)$。

例题6

模板题，类似莫队开一个桶记录每种颜色出现次数，然后套用上面的套路即可。

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例题7

需要一些技巧的 DSU ，由于要统计所有路径，我们可以类似点分治先递归计算所有子树中路劲的最大值，再计算以当前点为 LCA 的路径。

计算当前点的路径，我们开一个桶记录路径异或值为$x$的所有路径中，能够达到的最大深度是多少。然后在合并子树时统计答案即可。

我们仍然按照套路合并子树，这样时间复杂度是$\rm O(N\log N\log maxA_i)$。

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