【笔记】莫比乌斯反演/筛法

来自$\texttt{Sharpness}$的省选复习计划中的莫比乌斯反演/筛法。

线性筛素数，每个数只会被它最小质因子筛掉，借此我们可以线性求出很多积性函数如$\mu\ ,\ \varphi $等。

整除分块，给定$n$，则$\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor$的取值不超过$\sqrt{N}$种，因为$i\le \sqrt{N}$时不超过$\sqrt{N}$种取值，$>\sqrt{N}$时也不超过$\sqrt{N}$

所以我们可以把所有$\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor$相同的$i$分到一段。总共不超过$\sqrt{N}$段。

整除分块的写法可以直接套用。

代码

例题3

在$[L,R]$选出$N$个数使得他们的$\gcd=K$。不妨将所有数$/k$，将问题转换为在$[L',R']$中选取$N$个数使得$gcd=1$。显然这可以直接暴算了。

题目给出$R-L\le10^5$，考虑更简单的方法。我们可以先求出$f[i]$表示公约数为$i$的方案数，再通过$f[k\times i],k\in N^{+}$，容斥求出最大公约数为$i$的方案数。

代码

迪利克雷卷积

$h=f*g$，则有$h(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\dfrac{n}{d})$ 。

性质 $1$：若$f,g$为积性函数，则$f*g$也为积性函数。

证明：

如果$p\perp q $，则 $w|pq$ 与 $w=uv,u|p\land v|q$一一对应。因为$w$的每一个质因子可以唯一分配到 $p$ 或者 $q$ 中。
所以$h(p\times q)=\sum\limits_{w|pq}f(w)g(\dfrac{pq}{w})=\sum\limits_{u|p,v|q}f(u)f(v)g(\dfrac{p}{u})g(\dfrac{q}{v})=h(p)h(q)$

反演

性质 $2$：$\mu *1=\epsilon$

应用：$\begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^m[\gcd(i,j)=1]=& \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{d|i,j}\mu(d)\\=&\sum\limits_{d=1}^{\min(n,m)}\mu(d)\left\lfloor\dfrac{n}{d}\right\rfloor\left\lfloor\dfrac{m}{d}\right\rfloor \end{aligned}$

性质 $3$：$\varphi*1=\rm Id$

应用：$\begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^m\gcd(i,j)=& \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{d|i,j}\varphi(d)\\=&\sum\limits_{d=1}^{\min(n,m)}\varphi(d)\left\lfloor\dfrac{n}{d}\right\rfloor\left\lfloor\dfrac{m}{d}\right\rfloor \end{aligned}$

例题4

莫比乌斯反演模板题。

利用性质 $2$ ，用线性筛预处理$\mu$，然后整除分块可以做到$\rm O(T\sqrt{N})$

代码

例题5

经典 $\texttt{trick}$ : $\sigma(ij)=\sum\limits_{a=1}^{i}\sum\limits_{b=1}^{j}[\gcd(a,b)=1]$ 。

然后利用性质$2$求解即可。

代码

杜教筛

杜教筛用来在优于线性的时间复杂度内求出积性函数的前缀和。

如果我们需要求积性函数 $f$ 的前缀和 $S$，我们可以找一个合适的函数 $g$，令$h=f*g$。

\[\begin{aligned}\sum\limits_{i=1}^nh(i)=& \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{d|i}g(d)f(\dfrac{i}{d}) \\=& \sum\limits_{d=1}^ng(d)\sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{d}}f(i)\\=&\sum\limits_{d=1}^n g(d)S(\dfrac{n}{d})\end{aligned}\]

所以有

\[\sum\limits_{i=1}^nh(i)-\sum\limits_{d=2}^n g(d)S(\dfrac{n}{d})=g(1)S(n) \]

如果我们选取的$g$函数能使得$\sum h(i)$快速求出，我们可以将这个问题递归分解下去。由问题$S(n)$分解到$S(\dfrac{n}{d})$。并不难得到一个时间复杂度为$\rm O(N^{\frac{3}{4}})$。

考虑优化，我们可以将所有$\le M$ 的 $S(i)$ 全部筛出来，不难证得当$M=N^{\frac{2}{3}}$时，时间复杂度最优且为$\rm O(N^{\frac{2}{3}})$。

例题6

利用$\mu,\varphi$函数的性质。$\mu *1=\epsilon$，$\varphi*1=\rm Id$，其中函数 $1,\epsilon,\rm Id$ 的前缀和都可以 $\rm O(1)$ 求得，直接套用上面的公式即可。

代码

例题7

转化一下，发现我们需要求$\sum\limits_{i=1}^{n}i^2\varphi(i)$。

根据套路，我们令$f(n)=n^2\varphi(n)$，$g(n)=n^2$。令$h=f*g$，有：

\[\begin{aligned}h(n)=&\sum\limits_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})\\=&n^2\sum\limits_{d|n}\varphi(d)\\=&n^3\end{aligned} \]

$g,h$的前缀和都非常好求，而$f$又是个积性函数，所以直接上杜教筛即可。