【笔记】矩阵树定理
来自\(\texttt{SharpnessV}\)的省选复习计划中的矩阵树定理。
对于本节内容可以只记结论。
矩阵树定理用于解决一类生成树计数问题。
前置知识：高斯消元
高斯消元模板。对于一个 \(N\) 行，\(N+1\) 列的矩阵，先消成一个上三角矩阵，然后通过回代解除每个未知数的解。
#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define pre(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define N 105
using namespace std;
int n;double a[N][N];
void solve(){
rep(i,1,n){
double cur=a[i][i];
if(!a[i][i]){puts("No Solution");return;}
rep(j,i,n+1)a[i][j]/=cur;
rep(j,i+1,n)pre(k,n+1,i)a[j][k]-=a[j][i]*a[i][k];
}
pre(i,n,1)rep(j,1,i-1)a[j][n+1]-=a[j][i]*a[i][n+1];
rep(i,1,n)printf("%.2lf\n",a[i][n+1]);
}
int main(){
scanf("%d",&n);
rep(i,1,n)rep(j,1,n+1)scanf("%lf",&a[i][j]);
solve();
return 0;
}
行列式求值模板。
一个 \(n\) 行 \(n\) 列的矩阵，它行列式的值为 \(\large\sum\limits_{p}(-1)^{\tau(p)}\prod \limits_{i=1}^{n}a_{i,p_i}\)。
性质 \(1\) ，上三角矩阵的行列式为对角线上元素乘积。
根据定义
性质 \(2\) ，交换两行，答案变为原来的相反数
交换后\(\prod\)中的内容不变，变的是\(\tau(p)\)，可以手算证明交换一个排列的两个元素后逆序对的奇偶性相反。
性质 \(3\) ，两行相等，行列式为 \(0\) 。
交换两行都答案为相反数，同时原矩阵没有改变，答案不变，所以只能为 \(0\) 。
性质 \(4\) ，一行乘 \(k\) ，行列式乘 \(k\)。
根据定义
性质 \(5\) ，一行加上另一行的 \(k\) 倍，答案不变。
\(\large\sum\limits_{p}(-1)^{\tau(p)}\prod \limits_{i=1}^{n}(a_{i,p_i}+\Delta_i)=\large\sum\limits_{p}(-1)^{\tau(p)}\prod \limits_{i=1}^{n}a_{i,p_i}+\large\sum\limits_{p}(-1)^{\tau(p)}\Delta\prod \limits_{i=1\land \Delta_i\neq 0}^{n}a_{i,p_i}\)
我们发现这是两个行列式的值，其中第二个行列式的值根据性质 \(3\) 为 \(0\)，所以答案不变
我们发现上面 \(5\) 个性质正好对应高斯消元的几个操作，我们直接将行列式消成上三角矩阵然后求值即可。
为避免除法，我们可以通过辗转相除法，经过势能分析时间复杂度仍然是 \(\rm O(N^3)\) 的。
矩阵树定理模板。
矩阵树定理：一个图生成树数量为其 Kirchhoff 矩阵去除第 \(k\) 行和第 \(k\) 列后的行列式的值，\(k\)任意。
证明略
定义：Kirchhoff 矩阵为度数矩阵减去邻接矩阵，\(a_{i,i}\)表示节点 \(i\) 的度数，\(a_{i,j}\)表示\(i\to j\)是否有边。
扩展 \(1\) ：最后求出的行列式值为 \(\sum\limits_{tree}\prod\limits_{e_i\in tree}w_{e_i}\) 。
当 \(w_e=1\)时，值恰好为生成树数量。
扩展 \(2\) ：Kirchhoff 矩阵删去第 \(k\) 行和列后算出的答案为根为第 \(k\) 个节点的生成树数量。虽然在无向图中没有区别。
扩展 \(3\) ：计算有向图生成树时，度数矩阵是节点\(i\)的入度时，计算的是外向树的数量，否则计算的是内向树的数量。
根据扩展 \(3\) : 我们不难推导得到，计算有向图生成树时，将矩阵沿\(y=x\)对角线翻转并不会影响答案。
最后求行列式即可算出答案。
推导一下发现我们需要求的是\(\large\prod\limits_{e}(1-p_e)\sum\limits_{tree}\prod\limits_{e_i\in tree}\dfrac{p_e}{1-pe}\)。
前面是一个常量，后面是矩阵树定理应用的标准形式。
容斥原理和矩阵树定理的结合。值得一做的好题，难度不大。
\(2020\)年联合省选题，不会矩阵树会吃大亏。
需要技巧的一道题。
首先通过反演\(\varphi *1=\rm Id\) 消去 \(\gcd\)。
然后得到\(\sum\limits_{tree}\sum\limits_{e_i\in tree}w_{e_i}\)形式的求值。
我们发现这不是我们标准形式的求值，考虑将加法变为乘法。
如果做过类似题目不难知道，我们用二项式乘法代替常数项加法，最后二项式系数即为加法和。
注意一下这里涉及多项式除法，不能辗转相除，必须写高斯消元的标准形式。
求与给定树相交恰好 \(k\) 条边的生成树个数。
我们将给定树的边权置为单项式 \(x\) ，其余的边置为常数 \(1\)。
我们发现如果一个生成树的边权之积为 \(x^k\)，则恰好与原树相交 \(k\) 条边。
于是我们可以通过矩阵树定理求出所有生成树边权乘积之和，\(x^k\)项的系数即为答案。
直接多项式乘法复杂度过高，由于答案是一个\(n-1\)次多项式，所以我们可以带入\(n\)个常数然后插值求出原多项式。
