【笔记】USACO22OPEN

T1

直接 DP，\(f_{i,j}\) 表示区间 \([i,j]\) 的答案，直接做是 \(\mathcal{O}(N^3)\)，也可以二分或者直接双指针。

满分不会待补。

T2

首先如果存在一个点，它不能到达任何一个环，那么一定先手必胜。这一步可以一遍拓扑排序。

否则结束的状态一定是两个石子，一个石子堵住另一个石子（不能到达一个环的点要删掉），所以图中必然存在边 \(x\to y\)，其中 \(x\) 的出度为 \(1\)。

那么我们可以把 \(x,y\) 缩成一个点，然后合并重边，一直重复这个操作直到所有点的出度 \(>2\)。

那么对于一个询问，直接判断输入的两个点是否是合并后的同一个点。

直接合并的复杂度可能有点假，我们记 \(F(x) = \{y\ |\ x\to y\in E\}\)，那么合并点 \(x, y\)，将 \(x\) 合并到 \(y\) 上和把 \(y\) 合并到 \(x\) 上的复杂度分别是 \(|F(x)|,|F(y)|\)，所以启发式合并即可。

T3

\(f_{i}\) 表示以 \(i\) 结尾的最大的 \(k\)，枚举 \(j>i\) 转移，条件是 \([a_j > a_i] = [s_{f_i + 1} = U]\)，直接转移是 \(\mathcal{O}(N^2)\)，显然可以线段树优化至 \(\mathcal{O}(N\log N)\)。