【题解】ARC137D - Prefix XORs

有意思的找规律题。我们先简单写一个程序打表，打印一个01方阵 \(u_{i,j}\) 表示经过 \(i\) 次操作后，\(a_n\) 是否要异或 \(a_j\)。

#define N 100005
int n, a[N];
int main() {
	read(n);
	a[n] = 1;
	int m = 1; while(m < n) m <<= 1;
	rp(i, m){
		rp(j, n)if(a[j])rp(k, j - 1)a[k] ^= 1;
		rp(j, n)printf("%d ", a[j]); el;
	}
	return 0;
}

当 \(n=16\) 时打的表如下。

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

想必答案已经非常清楚了，\(u_{i,j} = 1\) 当且仅当 \(i\ \&\ j = i\)。所以对于每个 \(a_i\)，当且仅当 \(k\ \&\ i = k\) 时对 \(ans_k\) 产生贡献。所以这本质上是高维前缀和/子集卷积/FWT，直接做即可。

#define N 1000005
int n, m, w = 1, a[N], u[N];
void fwt(){
	for(int l = 2, k = 1; l <= w; l <<= 1, k <<= 1)
		for(int i = 0; i < w; i += l)rep(j, 0, k - 1)
			u[i + j] ^= u[i + j + k];
}
int main() {
	read(n, m); rp(i, n)read(a[i]);
	while(w < n) w <<= 1;
	rp(i, n)u[w - n + i - 1] = a[i];
	fwt();
	rp(i, m)printf("%d ", u[(i - 1) % w]);
	return 0;
}