【笔记】一类排列，概率和期望问题

1.初始集合有 \(N\) 个数，每次从中等概率选择一个数 \(x\)，并在集合中删除 \(\le x\) 的数，求将集合删空的期望次数

2.求长度为 \(N\) 的排列 \(P\)，位置 \(i\) 的期望个数满足不存在 \(j<i \land p_j > p_i\)。

这两个问题是等价的，以下是一个感性的证明。

我们只用证明第二种问题的答案等价于第一个问题的答案。由于第 \(2\) 个问题中求的是排列的期望，所以每个排列出现的概率是相同的。

我们假设新增的一个满足条件的 \(i\)，它删除的集合是 \(S\)，那么对于剩下的集合是 \(T\)，那么等价于对于 \(i\) 后面的位置，选择若干个位置排 \(S\)，再在剩下的位置中排 \(T\)。\(S\) 是没有贡献的，而且对于一种排列 \(T\) 的方案，对应的排列 \(S\) 的方案是相同的。所以又等价于直接删除集合 \(S\) 并求集合为 \(T\)​ 的子问题。

[USACO21DEC] HILO P

相当于问题 \(2\) 转问题 \(1\)，直接把数数问题转化为期望问题。

ARC114E - Paper Cutting 2

事实上对于 \(j<i \land p_j > p_i\) 的限制条件，这个 \(>\) 可以是广义的，只要满足传递性即可，即 \(i>j,j>k \to i>k\)。​

这题相当于问题 \(1\) 转问题 \(2\)，变成排列后直接数数。