【笔记】基础多项式
来自\(\texttt{SharpnessV}\)的省选复习计划中的基础多项式。
快速傅里叶变换\(\rm FFT\)，时间复杂度\(\rm O(N\log N)\)。
#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define pre(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define N 2100000
using namespace std;
struct node{
double a,b; //a+bi
node(double x=0,double y=0){a=x;b=y;}
}a[N],b[N];
const double pi = acos (-1) ;
node operator*(node x,node y){return node(x.a*y.a-x.b*y.b,x.a*y.b+x.b*y.a);}
node operator+(node x,node y){return node(x.a+y.a,x.b+y.b);}
node operator-(node x,node y){return node(x.a-y.a,x.b-y.b);}
int n,m,t,rev[N];
void fft(node *u,int op){
rep(i,0,t-1)if(rev[i]>i)swap(u[rev[i]],u[i]);
for(int l=1,k=2;k<=t;k<<=1,l<<=1){
node cur(cos(pi/l),op*sin(pi/l));
for(int i=0;i<t;i+=k){
node now(1,0);
rep(j,0,l-1){
node x=u[i+j],y=now*u[i+j+l];
u[i+j]=x+y;u[i+j+l]=x-y;
now=now*cur;
}
}
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
rep(i,0,n)scanf("%lf",&a[i].a);
rep(i,0,m)scanf("%lf",&b[i].a);
t=1;while(t<=n+m)t<<=1;
rep(i,0,t-1)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?(t>>1):0);
fft(a,1);fft(b,1);rep(i,0,t-1)a[i]=a[i]*b[i];fft(a,-1);
rep(i,0,n+m)printf("%d ",(int)(a[i].a/t+0.5));
return 0;
}
快速数论变换\(\rm NTT\)，时间复杂度\(\rm O(N\log N)\)。
#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define pre(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define N 2100000
#define P 998244353
using namespace std;
int n,m,a[N],b[N],rev[N],t;
int Pow(int x,int y){
if(y<0)return Pow(Pow(x,P-2),-y);
int now=1;
for(;y;y>>=1,x=1LL*x*x%P)if(y&1)now=1LL*now*x%P;
return now;
}
void ntt(int *u,int op){
rep(i,0,t-1)if(rev[i]>i)swap(u[i],u[rev[i]]);
for(int l=1,k=2;k<=t;k<<=1,l<<=1){
int cur=Pow(3,op*(P-1)/k);
for(int i=0;i<t;i+=k){
int now=1;
rep(j,0,l-1){
int x=u[i+j],y=1LL*now*u[i+j+l]%P;
u[i+j]=(x+y)%P;u[i+j+l]=(x-y)%P;
now=1LL*now*cur%P;
}
}
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
rep(i,0,n)scanf("%d",&a[i]);
rep(i,0,m)scanf("%d",&b[i]);
t=1;while(t<=n+m)t<<=1;
rep(i,1,t-1)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?(t>>1):0);
ntt(a,1);ntt(b,1);rep(i,0,t-1)a[i]=1LL*a[i]*b[i]%P;
ntt(a,-1);int cur=Pow(t,-1);
rep(i,0,n+m)printf("%d ",(1LL*cur*a[i]%P+P)%P);
return 0;
}
\(\rm FFT\) 会丢失精度，\(\rm NTT\) 必须对特殊质数取模。
已知 \(N\) 个 \(x_i\) 不相等的点，我们可以确定一个 \(N-1\) 次多项式。
拉格朗日插值可以在\(\rm O(N^2)\) 的时间内求出 \(\rm f(k)\)。
我们构造函数
\[\large g_{i}=y_i\prod\limits_{j=1}^{n}[i\neq j]\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j}
\]
不难发现这个函数在 \(x_i\) 处取值为 \(y_i\)，在 \(x_j\) 处取值为 \(0\) 。并且这是个 \(N-1\) 次多项式。
我们令\(f_i=\sum\limits_{i=1}^n g_i\)，可以构造出过 \(N\) 个点的 \(N-1\) 次多项式。
#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define P 998244353
#define N 2005
using namespace std;
int Pow(int x,int y){
int now=1;
for(;y;y>>=1,x=1LL*x*x%P)if(y&1)now=1LL*now*x%P;
return now;
}
int n,k,x[N],y[N],ans;
int main(){
scanf("%d%d",&n,&k);
rep(i,1,n)scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
rep(i,1,n){
int u=1,v=1;
rep(j,1,n)if(i!=j)u=1LL*u*(k-x[j])%P,v=1LL*v*(x[i]-x[j])%P;
ans=(ans+1LL*y[i]*u%P*Pow(v,P-2))%P;
}
printf("%d\n",(ans+P)%P);
return 0;
}
直接求式子\(N^2\)，可以获得可观的 \(30\) 分。如果指令集优化一下甚至可以有 \(60\) 分。
但是如果不会多项式不能拿到高分。
下面是基础推式子：
\[E_i=\sum\limits_{j=1}^{i-1}\dfrac{q_j}{(i-j)^2}-\sum\limits_{j=i+1}^{n}\dfrac{q_j}{(i-j)^2}
\]
不难发现 \(j+(i-j)=i\) 是一个定值，这就是两个卷积，直接\(\rm FFT\)即可。
旋转 \(k\) 下的差异值可以写出来。
\[Diff=\sum (x_i-y_{i+k})^2
\]
如果我们将\(y\)反转。
\[Diff=\sum (x_i-y_{k-i})^2
\]
拆开
\[Diff=\sum x^2_i+\sum y_i^2 +2\sum x_iy_{k-i}
\]
注意这是一个循环卷积，但我们仍可以按照普通卷积来求。
差异值不会很大，直接\(\rm NTT\)即可。
至于其它的，B卷应该不会考
