【笔记】排序的第 ? 种方法——排序网络 / 【题解】「BalticOI 2021 Day2」The Collection Game

前言

早上写模拟赛被毒瘤题卡了 \(2\) 个小时，本以为是个 nb 思维题，没想到居然是个科技题（

正文

我们都知道排序可以分为 基于比较的排序 和 基于值域的排序，也可以分为 稳定排序 和 非稳定排序，当然也可以按时间复杂度分。

事实上，排序还可以分为基于数据的排序和不基于数据的排序，OI 中几乎所有的排序都是基于数据的排序。

如何评判一个排序是否基于数据？

首先我们只考虑基于比较的排序，桶排之类排除在外。如果一个排序的比较顺序和输入数据有关，那么就是基于数据的排序，否则就不是。

可能很难理解什么是与输入数据有关，举个例子。比如归并排序，当我们归并两个有序序列时，需要维护当前指针，而当前指针的移动与数据的分布有关。再比如快速排序，如果数据不同，则每次递归的长度也不同，比较自然也不相同。

相反，冒泡排序就是典型的不基于数据的排序。因为无论输入的数据是什么样的，我们比较的位置和顺序都是不变的。

对于不基于数据的排序，我们可以将整个排序过程画出一个固定的流程图，这张图也被称为排序网络。

上面就是冒泡排序的排序网络。不难发现如果两次比较不相交，则可以进行并行计算。而最少进行的并行计算次数，就是排序网络的层数。目前最优秀的排序网络能做到 \(\mathcal{O}(N\log^2N)\) 的比较次数，和 \(\mathcal{O}(\log^2)\) 层，如双调排序，奇偶归并等。

验证一个比较网络是否是排序网络是 NPC 问题，更多内容在 matrix67 的博客。

题目

不知道这和 OI 没什么关联的 trick 居然真的能出成题目。

首先仔细模拟以下不难发现，直接排序，swap 操作并没有什么用。因为如果 swap 了，那么反馈的结果也会改变，对应的操作也会改变。

考虑 \(V\ge 500\)，直接冒泡排序即可。如果是求序列最大值只用 \(\log N\) 次参观，每次我们将奇数和偶数位的比较并行计算即可。

对于 \(V\ge 100\) 和 \(V\ge 50\) 分别对应层数为 \(\log^2 N\) 和 \(\dfrac{\log^2N}{2}\) 的排序网络。