【题解】ABC224G - Roll or Increment

给定起点 \(S\)，终点 \(T\)，和范围 \(N\)，每次可以花费 \(A\) 代价使当前位置 \(+1\)，或花费 \(B\) 的代价随机传送到 \(N\) 个位置中的一个。问期望最优花费多少代价。

非常数学的一道期望题。

首先可以观察到 \(2\) 操作相当于重排，所以 \(2\) 操作之前不会进行 \(1\) 操作。

所以我们最优策略存在一个分界点 \(X\)，使得如果传送到区间 \([T-X+1,T]\)，则一直进行 \(1\) 操作直到结束，否则一直进行 \(2\) 操作。

那么对于固定的 \(X\)，进行 \(2\) 操作的期望是 \(\dfrac{BN}{X}\)，进行 \(1\) 操作的期望是 \(\dfrac{(X-1)A}{2}\)。

所以总期望为 \(\dfrac{BN}{X}+\dfrac{(X-1)A}{2}\ge 2\sqrt{\dfrac{ABN}{2}}-\dfrac{N}{2}\)，根据均值不等式得到当 \(X=\sqrt{\dfrac{2BN}{A}}\) 时取整。

所以我们只用求相邻的正整数比较最小值即可。

int n, s, t, a, b;
double ans = 1e19;
int main() {
	n = read(), s = read(), t = read(), a = read(), b = read();
	if(s == t)printf("0\n");
	else{
		if(s < t)ans = min(ans, 1.00 * (t - s) * a);
		int cur = sqrt(2.00 * b * n / a);
		cur = max(min(cur, t), 1);
		rep(x, max(1, cur - 1), min(t, cur + 1))
			ans = min(ans, 1.00 * b * n / x + 0.5 * (x - 1) * a);
		printf("%.8lf", ans);
	}
	return 0;
}