【题解】[JOISC 2021 Day1] IOI 熱の感染拡大

大模拟，需要肝。

我们一步步分解。

首先最开始只有第一个个点被感染了，那么我们最先固定第一个人的方向，有 \(4\) 种选择。

对于第一个点初始方向上的点，一定与 \(1\) 号点相向运动，否则它们既不会被感染，也不会感染别人，没有任何作用。我们称这类点为 \(\mathbf{A}\) 类节点

对于第一个点初始方向的相反反向上节点，必定向 \(1\) 号点方向移动。

对于剩下点，每个点的方向有两种选择，第一种是垂直于 \(1\) 号点的初始方向运动，第二种是平行于 \(1\) 号点，并向 \(1\) 号点运动。

但是每种点都有两种选择，状态数仍然太大了。

结论：\(1\) 号点初始值位置 \((a,b)\) ，则当前点一定选择到直线 \(x=a\) 和直线 \(y=b\) 中较长的一个。

手动模拟一下发现向另一个走不可能被感染。

对于两个方向相同的点，只可能垂直于初始方向运动，且可以根据相对位置 $\mathcal{O}(1) $ 判断是否被感染。

对于原本就在直线 \(x=a\) 或直线 \(y=b\) 的直线，只可能向 \(1\) 号点方向运动 。

这样我们就固定了所有点的运动方向。

垂直于初始方向运动的点，我们称为 \(\mathbf{C}\) 类点。平行运动的我们称为 \(\mathbf{D}\) 号点。

那么什么情况下会发生传染？

首先被 \(1\) 号点传染的，一定是在初始方向上的，或在过 \(1\) 点，且斜率为 \(1\) 或 \(-1\) 的直线上。 注意这是必要条件，并不充分。

那么两个点之间发生传染，过两点直线的斜率为 \(1/-1\) ，或过两点直线平行坐标轴。

基于一个显而易见的事实，\(i\) 被感染后才能传染别人，所以我们可以运用类似于最短路算法， \(d_i\) 表示节点 \(i\) 被感染的时间。然后讨论感染别人的三个方向的点。

用堆优化 \(\rm Dijkstra\) 算法即可。

但是直接建图的边数可能是 \(n^2\) 的。一个小优化是直线上出现的同向的点，或垂直同向的点可以直接略过。这样每对相向的点只能只会被更新一次，边数为 \(\mathcal{O}(n)\)，总时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\log n)\) 。

优化的具体做法是对于每条直线 \(x=k\)，\(y=k\) ，\(y=x\) ，\(y=-x\) ，从左向右排序，然后扫一遍，同时记录各个初始方向的第一个点 。