【笔记】子序列问题

对于序列 $a(n)$，我们称 $b(m)$ 为 $a$ 的子序列，当且仅当存在 $c(m)$ 使得 $\forall 1\le i<m,c_i< c_{i + 1}$ 并且 $\forall 1\le i \le m, a_{c_i} = b_i$。

一个序列的子序列有 $2^n$ 种，非空子序列有 $2^n - 1$ 种。

子序列的子序列有 $3^n$​ 种，子序列的子序列的子序列有 $4^n$ 种，依次类推。

[Ynoi2015] 盼君勿忘#

每次询问一个序列所有子序列去重后的权值和之和。

考虑对每个权值算贡献，即有多少个子序列包含这个权值，简单容斥下就是 $2^n-2^{cnt}$ 个，所以贡献就是 $(2^n-2^{cnt})x$。

例题#

给定一个子序列，求有多少个本质不同子序列。

定义 $f_i$​ 表示以 $i$​ 结尾的本质不同子序列数，显然有 $f_i = \sum f_j$​，其中 $s_j$​ 是在 $i$​ 前面第一次出现。直接转移可以做到 $\mathcal{O}(|S|\sum)$​。

事实上我们有更优的容斥方法，定义状态 $f_i$ 表示前 $i$ 个位置有多少个本质不同的子序列数。

考虑从 $f_i \to f_{i + 1}$，显然第 $i + 1$ 位可选可不选，所以 $f_{i + 1} = 2\times f_i - f_{pre_{i+ 1} - 1}$，其中 $pre_i$ 表示 $i$ 前面第一个和 $S_i$ 相同的位置。时间复杂度为 $\mathcal{O}(|S|)$。

【模板】子序列自动机#

子序列自动机相对于子序列，好比后缀自动机相对与字符串，回文自动机相对与回文串。

我们观察例题的两种方法，找到二者的本质相同之处。

不难发现如果我们对于所有 $i<j$ 使得 $s_j$ 是在 $i$ 之后第一次出现，连一条 $i\to j$ 的边，那么我们就会得到一个有向无环图，即子序列自动机。

所以自动机中的一条路径与一个子序列一一对应，本质不同的子序列数就是路径数。

对于例题的第一种方法，$f_i$​​ 表示以 $i$ 为终点了路径数，对于第二种方法表示前 $i$ 个点的路径数，这样就很清晰是正确的。

例2 Distinct Subsequences#

求所有子序列的本质不同子序列个数之和。

显然就是求所有子序列的子序列自动机中路径条数。

所以我们可以定义状态 $f_i$ 表示以 $i$ 结尾的所有子序列中，所有以 $i$ 结尾的路径之和，那么 $i$ 之后任意选，答案为 $\sum 2^{n - i}f_i$。

我们枚举 $j$​ 进行转移，其中区间 $[j + 1,i - 1]$​ 中等于 $s_i$​ 的位置不能选，其余位置任选，所以 $f_i = \sum f_j2^{cnt_j}$，$cnt_j$ 表示区间 $[j + 1, i - 1]$ 中不等于 $s_i$ 的位置。

直接转移可以做到 $\mathcal{O}(n^2)$，事实上我们发现在从小到大枚举 $i$ 的过程中，对于 $i$ 后面的 $=s_i$​ 的位置，相当于统一 $/2$，打个标记即可。这样就可以做到线性。