poj 3252 Round Numbers 【推导·排列组合】

 以sample为例子
 [2,12]区间的RoundNumbers（简称RN）个数:Rn[2,12]=Rn[0,12]-Rn[0,1]
 即：Rn[start,finish]=Rn[0,finish]-Rn[0,start-1]
 所以关键是给定一个X，求出Rn[0,X]
 现在假设X=10100100 
 这个X的二进制总共是8位，任何一个小于8位的二进制都小于X
 第一部分，求出长度为[0,7]区间内的二进制是RoundNumber的个数
  对于一个长度为Len的二进制(最高位为1)，如何求出他的RoundNumbers呢（假设为用R(len)来表达），分为奇数和偶数两种情况
  1、奇数情况：在Len=2k+1的情况下，最高位为1，剩下2k位，至少需要k+1为0
   用C(m,n)表示排列组合数：从m个位置选出n个位置的方法
   R(len)=C(2k,k+1)+C(2k,k+2)+...+C(2k,2k).
   由于 A：C(2k,0)+C(2k,1)+...+C(2k,2k)=2^（2k）
     B:C(2k,0)=C(2k,2k), C(2k,1)=C(2k,2k-1) ,,C(2k,i)=C(2k,2k-i)
   于是  C(2k,0)+C(2k,1)+...+C(2k,2k)
    = C(2k,0)+C(2k,1)+...+C(2k,k)+C(2k,k+1)+C(2k,K+2)+...+C(2k,2k)
    = 2*R(len)+C(2k,k)
    =2^(2k)
    所以R(len)=1/2*{2^(2k)-C(2k,k)};
  2. 偶数情况 len=2*k，类似可以推到 R(len)=1/2*(2^(2k-1));
 第二部分，对于上面这个长度为8的例子:即X=10100100，首先如果本身是RoundNumbers，第二部分的结果总数+1
  第一部分已经将长度小于8的部分求出。现在要求长度=8的RoundNumber数目
  长度为8，所以第一个1不可改变
  现在到第二个1，如果Y是前缀如100*****的二进制，这个前缀下，后面取0和1必然小于X，已经有2个0，一个1，剩下的5个数字中至少需要2个0，
   所以把第二个1改为0：可以有C(5,2)+C(5,3)+C(5,4)+C(5,5)
  现在第三个1，也就是前最为101000**，同样求出，至少需要0个0就可，所以有C(2,0)+C(2,1)+C(2,2)个RoundNumbers
  。。。
  将所有除了第一个1以外的1全部变为0，如上算出有多少个RoundNumbers，结果相加（由于前缀不一样，所以后面不管怎么组合都是唯一的）

 将第一部分和第二部分的结果相加，就是最后的结果了。
 精度要求方面，用int就可以了：two billion=20亿<2*1024*1024*1024=2^31，需用31位来表示数组，由于第一位总是1，所以求组合数的时候最多求30，C(30,k),k取值区间是[0,30],因为C(k,i)<2^k，所以结果用int表示就可以

 

Problem: 3252  User: ycdoit
Memory: 148K  Time: 0MS
Language: C++  Result: Accepted
#include<iostream>
using namespace std;
const int MS=31;
int C[MS][MS];        //[0,...30]
int power2[MS];        //1 2 4 8 ... 2^(MS-1)
int Binary[MS];
int Solve(int X){
    if(X<=1)    return 0;
    int i,j,k,n0,n1,Len,res=0;
    for(i=0;i<MS;++i)    Binary[i]=((power2[i]&X)!=0)?1:0;
    for(i=MS-1;i>=0 && Binary[i]==0;--i);    //停止的时候，i指向1        //总长度为i+1
    for(Len=i;Len>=1;--Len){        //求出 [1...i]的R(len)
        if(Len%2==1)    res+=(( power2[Len-1]-C[Len-1][(Len-1)/2])>>1);
        else    res+=(power2[Len-1]>>1);
    }
    for(j=i,n0=0,n1=0;j>=0;--j)    if(Binary[j])    ++n1;    else ++n0;
    if(n1<=n0)    ++res;
    for(j=i-1,n0=0,n1=1;j>=0;--j)    {
        if(Binary[j]){    //后面还有j位    第j位临时当做0
            for(k=j;k>=0 && k+n0+1>=j-k+n1;--k)        res+=C[j][k];
            ++n1;
        }
        else ++n0;
    }
    return res;
}
int main(){
    int i,j,Start,Finish;
    for(i=0;i<MS;++i)    C[i][0]=1,C[i][i]=1,power2[i]=(1<<i);
    for(i=2;i<MS;++i)    for(j=1;j<i;++j)    C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
    scanf("%d%d",&Start,&Finish);
    printf("%d\n",Solve(Finish)-Solve(Start-1));
    return 0;
}