UVa 12716 GCD XOR

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题意：给定n(1<=n<=3e7)，求有多少对整数(a,b)满足1<=b<=a<=n,gcd(a,b)=a^b。

分析：设gcd(a,b)=c，a^b=c等价于a^c=b，因此可以枚举a和c，然后检查gcd(a,a^c)==c，复杂度为O(n(longn)^2)，果断T。。实际上满足条件的数对必然满足b=a-c，因为b=a^c>=a-c，c=gcd(a,b)=gcd(a-b,b)<=a-b。因此只需要检验c==a^(a-c)。

复杂度为O(nlogn)，大约是7e8，但是有多组数据，因此要预处理前3e7个，记第i个为dp[i]，a=i时的数对有_a[i]对 ，则dp[i]=dp[i-1]+_a[i]，可以线性处理，总的复杂度为O(nlogn)。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn=3e7+5;
bool have[maxn];
long long _a[maxn],dp[maxn];
long long ans=0;
void solve(){
    ans=0;
    for(int c=1;c<=maxn;c++){
        for(int a=2*c;a<=maxn;a+=c){
            if((a^(a-c))==c)_a[a]++;
        }
    }
}
int main(){
    //freopen("e:\\in.txt","r",stdin);
    memset(_a,0,sizeof(_a));
    solve();
    dp[1]=0;
    for(int i=2;i<maxn;i++){
        dp[i]=dp[i-1]+_a[i];
    }
    int t,n;
    cin>>t;
    for(int kase=1;kase<=t;kase++){
        scanf("%d",&n);
        printf("Case %d: %d\n",kase,dp[n]);
    }
    return 0;
}