一.算法的数学基础

一.算法相关的数学公式

1. 换底公式：\(\log_AB=\frac{\log_cB}{\log_CA}\)
   证明：设\(z=\log_AB, x=\log_cB,y=\log_CA\)，则\(A^Z=B,C^X=B,C^Y=A =>{C^Y}^Z=C^X=>YZ=X,\)所以\(z=\frac{X}{Y}\),即\(\log_AB=\frac{\log_cB}{\log_CA}\)
2. 模同余定理
   （1）两个数A与B，如果他们除以C后的余数相同，则称A和B模同余。记为\(A\equiv B(mod N)\)
   （2）模同余的条件也可记为：A与B的差整除C
3. 级数公式
   （1）\(\sum\limits_{i=0}^{n}2^i=2^{n+1}-1\)
   （2）\(\sum\limits_{i=0}^{n}A^i=\frac{A^{n+1}-1}{A-1}\)
   （3）当公式2中,\(0<A<1\)，则\(\sum\limits_{i=0}^{n}A^i\leq \frac{1}{1-A}\)

二. 函数相对增长率

1. 相对增长率描述了2个函数之间的关系，是函数间的相对级别
2. 函数关系的4个定理：
   （1）定理1：有2个函数\(T(N)\)和\(f(N)\)，若存在正数c和\(n_0\)，使得当\(N\geq n_0\)时，\(T(N) \leq cf(N)\)，则称\(T(N)=O(f(n))\)
   （2）定理2：有2个函数\(T(N)\)和\(f(N)\)，若存在正数c和\(n_0\)，使得当\(N\geq n_0\)时，\(T(N) \geq cf(N)\)，则称\(T(N)=\Omega(f(n))\)
   （3）定理3：若两个函数\(T(N)\)和\(f(N)\)之间的关系是\(T(N)=\Omega(f(n))\)或\(T(N)=O(f(n))\)，则称\(T(N)=\Theta(f(n))\)
   （4）定理4：有2个函数\(T(N)\)和\(f(N)\)，若存在正数c和\(n_0\)，使得当\(N> n_0\)时，\(T(N)<cf(N)\)，则称\(T(N)=o(f(n))\)
3. 要证明\(T(N)=O(f(n))\)，通常不需要证明过程，而是利用一些已知的结果。当\(T(N)=O(f(n))\)时，可以保证\(T(N)\)在以不快于\(f(n)\)的速率增长
4. 我们可以通过计算极限\(\lim\limits_{N\rightarrow+\infty}\frac{f(N)}{g(N)}\)来确定2个函数的相对增长率

三.运行时间计算

1. 算法的运行时间是一种粗略估计，是对\(O(f(n))\)的估计值。因此，产生了一些估计算法运行时间的法则
   （1）for循环运行时间：for循环内部语句的运行时间乘以循环次数
   （2）顺序语句运行时间：将各个语句的执行时间求和。eg:\(O(n^2)+O(n)=O(n^2)\)
   （3）if/else语句：if(condition){s1}else{s2} 运行时间为condition判断时间 + s1/s2语句执行的时间
   （4）递归函数的时间复杂度