数论——原根

参照篇原根博客：https://blog.csdn.net/fuyukai/article/details/50894609

1.原根定义

（1）假设一个数g对于P来说是原根，那么g^i mod P的结果两两不同,且有 1<g<P, 1<i<P,那么g可以称为是P的一个原根

简单来说，g^i mod p ≠ g^j mod p （p为素数）

 

（2）如果从欧拉函数的角度定义，我们可以先引进一个概念：阶

关于阶可以看这里：https://blog.csdn.net/a27038/article/details/77203892
此时给原根下定义：

如果 a 与 n 是互质的整数且n>0，那么当 ordna=φ(n)时，称aa为模n的原根。 

 

有个结论：如果g是P的原根，就是g^(P-1) = 1 (mod P)当且仅当指数为P-1的时候成立.(这里P是素数).

证明（转）：

首先看一下欧拉定理：

欧拉定理（也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若为正整数，且互素（即），则

因此，在时，定义对模的指数为使成立的最小的正整数。由前知 一定小于等于 ，若，则称是模的原根。

 

2.如何求解：

一、枚举

从2开始枚举，然后暴力判断g^(P-1) = 1 (mod P)是否当且当指数为P-1的时候成立

而由于原根一般都不大，所以可以暴力得到.

二、讲究方法

定理：如果模m有原根，那么他一共有个原根。 
定理：如果p为素数，那么素数p一定存在原根，并且模p的原根的个数为个。 
定理：假设m是正整数，a是整数，如果a模m的阶等于，则称a为模m的一个原根。 
模m有原根的充要条件：m=2,4,P^a,2*P^a……. 
求模素数P的原根的方法：对P-1素因子分解，即P-1=(P1^a1)(P2^a2)…..(Pk^ak)。，若恒有成立，那么g就是P的原根(对于合数而言,只需要把p-1换成即可)

求解一个数最小原根代码：

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAX_N = 1000010;
typedef long long ll;

int prime_cnt, factor_cnt, p;
int vis[MAX_N], prime[MAX_N], factor[MAX_N];

void GetPrime()
{
    prime_cnt = 0;
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for(int i = 2; i < MAX_N; i++){
        if(!vis[i]){
            prime[prime_cnt++] = i;
            for(int j = 0; j < prime_cnt && prime[j] * i < MAX_N; j++){
                vis[i * prime[j]] = 1;
                if(i % prime[j] == 0) break;
            }
        }
    }
}

void Factor(int x)
{
    factor_cnt = 0;
    int t = (int) sqrt(x + 0.5);
    for(int i = 0; prime[i] <= t; i++){
        if(x % prime[i] == 0){
            factor[factor_cnt++] = prime[i];
            while(x % prime[i] == 0) x /= prime[i];
        }
    }
    if(x > 1) factor[factor_cnt++] = x;
}

ll quick_pow(ll n, ll m, ll mod)
{
    ll res = 1, tmp = n % mod;
    while(m){
        if(m & 1) res = res * tmp % mod;
        tmp = tmp * tmp % mod;
        m >>= 1;
    }
    return res;
}

void solve()
{
    Factor(p - 1);
    for(int g = 2; g < p; g++){
        bool flag = true;
        for(int i = 0; i < factor_cnt; i++){
            int t = (p - 1) / factor[i];
            if(quick_pow((ll)g, (ll)t, (ll)p) == 1){
                flag = false;
                break;
            }
        }
        if(flag){
            cout << g << endl;
            break;
        }
    }
}

int main()
{
    GetPrime();
    while(cin >> p){
        solve();
    }
    return 0;
}