不等数列

题目描述

将1到n任意排列，然后在排列的每两个数之间根据他们的大小关系插入“>”和“<”。问在所有排列中，有多少个排列恰好有k个“<”。答案对2015取模。

注：1~n的排列指的是1~n这n个数各出现且仅出现一次的数列。

输入格式

第一行2个整数n,k。

输出格式

一个整数表示答案。

输入输出样例

输入 #1

5 2

输出 #1

66

说明/提示

对于30%的数据：n <= 10

对于100%的数据：k < n <= 1000

【解题思路】

dp[i][j]=dp[i-1][j-1]*(i-j)+dp[i-1][j]*(j+1);

其中i和j是表示前i个数中有j个小于号，j<=i-1

如何理解这个方程？？

要在长度为i的数列中插入一个数，那么共有i+1个位置可以插入（第一个位置最后一个位置和中间的i-1个位置）。由于插入的数字大于之前所有数，那么在原串中是小于号的位置插入这个数会多出来一个大于号，小于号数量则不变，如果在大于号位置插入会多一个小于号，而插在头位置也多一个大于，末位置多一个小于，总计，使小于号数量不变的位置有（j+1）个，剩下的（i-j）个位置会使小于号数量增加

【code】

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,k,f[1005][1005]; 
const int mod=2015;
int main(){
    ///freopen("2401.in","r",stdin);
    //freopen("2401.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for (register int i=1;i<=n;i++)
        f[i][0]=1;
    for (register int i=2;i<=n;i++)
        for (register int j=1;j<=k;j++)
            f[i][j]=(f[i-1][j-1]*(i-1-j+1)+f[i-1][j]*(j+1))%mod;
    printf("%d\n",f[n][k]);
    return 0;
}