【模板】树链剖分
题目描述
如题，已知一棵包含N个结点的树（连通且无环），每个节点上包含一个数值，需要支持以下操作：
操作1： 格式： 1 x y z 表示将树从x到y结点最短路径上所有节点的值都加上z
操作2： 格式： 2 x y 表示求树从x到y结点最短路径上所有节点的值之和
操作3： 格式： 3 x z 表示将以x为根节点的子树内所有节点值都加上z
操作4： 格式： 4 x 表示求以x为根节点的子树内所有节点值之和
输入输出格式
输入格式：第一行包含4个正整数N、M、R、P，分别表示树的结点个数、操作个数、根节点序号和取模数（即所有的输出结果均对此取模）。
接下来一行包含N个非负整数，分别依次表示各个节点上初始的数值。
接下来N-1行每行包含两个整数x、y，表示点x和点y之间连有一条边（保证无环且连通）
接下来M行每行包含若干个正整数，每行表示一个操作，格式如下：
操作1： 1 x y z
操作2： 2 x y
操作3： 3 x z
操作4： 4 x
输出格式：输出包含若干行，分别依次表示每个操作2或操作4所得的结果（对P取模）
输入输出样例
说明
时空限制：1s，128M
数据规模：
对于30%的数据： N≤10,M≤10 N \leq 10, M \leq 10 N≤10,M≤10
对于70%的数据： N≤103,M≤103 N \leq {10}^3, M \leq {10}^3 N≤103,M≤103
对于100%的数据： N≤105,M≤105 N \leq {10}^5, M \leq {10}^5 N≤105,M≤105
（ 其实，纯随机生成的树LCA+暴力是能过的，可是，你觉得可能是纯随机的么233 ）
样例说明：
树的结构如下：
各个操作如下：
故输出应依次为2、21(重要的事情说三遍：记得取模)
树链剖分 就是对一棵树分成几条链，把树形变为线性，减少处理难度
需要处理的问题：
- 将树从x到y结点最短路径上所有节点的值都加上z
- 求树从x到y结点最短路径上所有节点的值之和
- 将以x为根节点的子树内所有节点值都加上z
- 求以x为根节点的子树内所有节点值之和
概念
- 重儿子：对于每一个非叶子节点，它的儿子中 儿子数量最多的那一个儿子 为该节点的重儿子
- 轻儿子：对于每一个非叶子节点，它的儿子中 非重儿子 的剩下所有儿子即为轻儿子
- 叶子节点没有重儿子也没有轻儿子（因为它没有儿子。。）
- 重边：连接任意两个重儿子的边叫做重边
- 轻边：剩下的即为轻边
- 重链：相邻重边连起来的 连接一条重儿子 的链叫重链
- 对于叶子节点，若其为轻儿子，则有一条以自己为起点的长度为1的链
- 每一条重链以轻儿子为起点
- 【code】
1 ```cpp 2 #include <cstdio> 3 #include <iostream> 4 #include <algorithm> 5 using namespace std; 6 typedef long long LL; 7 const int maxn=200005; 8 int n,m,r,mod; 9 int tmp,head[200005],nex[2000005],to[200005],w[200005],wt[200005]; 10 //链式前向星数组，w[]、wt[]初始点权数组 11 int a[200005<<2],lazy[200005<<2]; 12 int son[200005],id[200005],fa[200005],cnt,dep[200005],siz[200005],top[200005]; 13 //son[]重儿子编号,id[]新编号,fa[]父亲节点,cnt dfs_clock/dfs序,dep[]深度,siz[]子树大小,top[]当前链顶端节点 14 int res=0; 15 //查询答案 16 inline void add(int x,int y){//链式前向星加边 17 to[++tmp]=y; 18 nex[tmp]=head[x]; 19 head[x]=tmp; 20 } 21 inline void pushdown(int rt,int lenn){ 22 lazy[rt<<1]+=lazy[rt]; 23 lazy[rt<<1|1]+=lazy[rt]; 24 a[rt<<1]+=lazy[rt]*(lenn-(lenn>>1)); 25 a[rt<<1|1]+=lazy[rt]*(lenn>>1); 26 a[rt<<1]%=mod; 27 a[rt<<1|1]%=mod; 28 lazy[rt]=0; 29 } 30 31 inline void build(int rt,int l,int r){ 32 if(l==r){ 33 a[rt]=wt[l]; 34 if(a[rt]>mod)a[rt]%=mod; 35 return; 36 } 37 build(rt<<1,l,l+r>>1); 38 build(rt<<1|1,(l+r>>1)+1,r); 39 a[rt]=(a[rt<<1]+a[rt<<1|1])%mod; 40 } 41 42 inline void query(int rt,int l,int r,int L,int R){ 43 int mid=l+r>>1; 44 if(L<=l&&r<=R){ 45 res+=a[rt]; 46 res%=mod; 47 return; 48 } 49 else{ 50 if(lazy[rt])pushdown(rt,r-l+1); 51 if(L<=mid)query(rt<<1,l,mid,L,R); 52 if(R>mid)query(rt<<1|1,mid+1,r,L,R); 53 } 54 } 55 inline void update(int rt,int l,int r,int L,int R,int k){ 56 int mid=l+r>>1; 57 if(L<=l&&r<=R){ 58 lazy[rt]+=k; 59 a[rt]+=k*(r-l+1); 60 } 61 else{ 62 if(lazy[rt])pushdown(rt,r-l+1); 63 if(L<=mid)update(rt<<1,l,mid,L,R,k); 64 if(R>mid)update(rt<<1|1,mid+1,r,L,R,k); 65 a[rt]=(a[rt<<1]+a[rt<<1|1])%mod; 66 } 67 } 68 inline int qRange(int x,int y){ 69 int ans=0; 70 while(top[x]!=top[y]){//当两个点不在同一条链上 71 if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);//把x点改为所在链顶端的深度更深的那个点 72 res=0; 73 query(1,1,n,id[top[x]],id[x]);//ans加上x点到x所在链顶端 这一段区间的点权和 74 ans+=res; 75 ans%=mod;//按题意取模 76 x=fa[top[x]];//把x跳到x所在链顶端的那个点的上面一个点 77 } 78 //直到两个点处于一条链上 79 if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);//把x点深度更深的那个点 80 res=0; 81 query(1,1,n,id[x],id[y]);//这时再加上此时两个点的区间和即可 82 ans+=res; 83 return ans%mod; 84 } 85 inline void updRange(int x,int y,int k){//同上 86 k%=mod; 87 while(top[x]!=top[y]){ 88 if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y); 89 update(1,1,n,id[top[x]],id[x],k); 90 x=fa[top[x]]; 91 } 92 if(dep[x]>dep[y])swap(x,y); 93 update(1,1,n,id[x],id[y],k); 94 } 95 inline int qSon(int x){ 96 res=0; 97 query(1,1,n,id[x],id[x]+siz[x]-1);//子树区间右端点为id[x]+siz[x]-1 98 return res; 99 } 100 inline void updSon(int x,int k){//同上 101 update(1,1,n,id[x],id[x]+siz[x]-1,k); 102 } 103 inline void dfs1(int x,int f,int deep){//x当前节点，f父亲，deep深度 104 dep[x]=deep;//标记每个点的深度 105 fa[x]=f;//标记每个点的父亲 106 siz[x]=1;//标记每个非叶子节点的子树大小 107 int maxson=-1;//记录重儿子的儿子数 108 for(register int i=head[x];i;i=nex[i]){ 109 int y=to[i]; 110 if(y==f)continue;//若为父亲则continue 111 dfs1(y,x,deep+1);//dfs其儿子 112 siz[x]+=siz[y];//把它的儿子数加到它身上 113 if(siz[y]>maxson)son[x]=y,maxson=siz[y];//标记每个非叶子节点的重儿子编号 114 } 115 } 116 inline void dfs2(int x,int topf){//x当前节点，topf当前链的最顶端的节点 117 id[x]=++cnt;//标记每个点的新编号 118 wt[cnt]=w[x];//把每个点的初始值赋到新编号上来 119 top[x]=topf;//这个点所在链的顶端 120 if(!son[x])return;//如果没有儿子则返回 121 dfs2(son[x],topf);//按先处理重儿子，再处理轻儿子的顺序递归处理 122 for(register int i=head[x];i;i=nex[i]){ 123 int y=to[i]; 124 if(y==fa[x]||y==son[x])continue; 125 dfs2(y,y);//对于每一个轻儿子都有一条从它自己开始的链 126 } 127 } 128 129 int main(){ 130 scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&mod); 131 for(register int i=1;i<=n;i++) 132 scanf("%d",&w[i]); 133 for(register int i=1;i<n;i++){ 134 int a,b; 135 scanf("%d%d",&a,&b); 136 add(a,b); 137 add(b,a); 138 } 139 dfs1(r,0,1); 140 dfs2(r,r); 141 build(1,1,n); 142 while(m--){ 143 int k,x,y,z; 144 read(k); 145 if(k==1){ 146 scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); 147 updRange(x,y,z); 148 } 149 else if(k==2){ 150 scanf("%d%d",&x,&y); 151 printf("%d\n",qRange(x,y)); 152 } 153 else if(k==3){ 154 scanf("%d%d",&x,&y); 155 updSon(x,y); 156 } 157 else{ 158 scanf("%d",&x); 159 printf("%d\n",qSon(x)); 160 } 161 } 162 return 0; 163 }
