实验二 K- 近邻算法及应用

一、相关信息

实验班级	https://edu.cnblogs.com/campus/ahgc/machinelearning
实验要求	https://edu.cnblogs.com/campus/ahgc/machinelearning/homework/12004
实验目标	争取自己能够大概弄懂k近邻算法的主要代码，并且尝试理解kd树的构造原理
学号	3180701338

二、实验信息

【实验目的】

1.理解K-近邻算法原理，能实现算法K近邻算法；

2.掌握常见的距离度量方法；

3.掌握K近邻树实现算法；

4.针对特定应用场景及数据，能应用K近邻解决实际问题。

【实验内容】

1.实现曼哈顿距离、欧氏距离、闵式距离算法，并测试算法正确性。

2.实现K近邻树算法；

3.针对iris数据集，应用sklearn的K近邻算法进行类别预测。

4.针对iris数据集，编制程序使用K近邻树进行类别预测。

【实验报告要求】

1.对照实验内容，撰写实验过程、算法及测试结果；

2.代码规范化：命名规则、注释；

3.分析核心算法的复杂度；

4.查阅文献，讨论K近邻的优缺点；

5.举例说明K近邻的应用场景。

三、实验完成情况
（1）实验主要代码及部分注释：
距离度量

import math   #导入这个math模块，就可以用模块里面的一些做数学运算的函数
from itertools import combinations #itertools模块combinations(iterable, r)方法可以创建一个迭代器，
#返回iterable中所有长度为r的子序列，返回的子序列中的项按输入iterable中的顺序排序。
#注：迭代器itertools.combinations可以实现一组数据的所有排列组合。

p = 1 曼哈顿距离
p = 2 欧氏距离
p = inf 闵式距离minkowski_distance

def L(x, y, p=2):
    # x1 = [1, 1], x2 = [5,1]   这里的实例是两个二维特征 x1 = [1, 1], x2 = [5,1]
    if len(x) == len(y) and len(x) > 1: # 当两个特征的维数相等时，并且维度大于1时。
        sum = 0# 目前总的损失函数值为0
        for i in range(len(x)):# 用range函数来遍历x所有的维度，x与y的维度相等。
            sum += math.pow(abs(x[i] - y[i]), p)# math.pow( x, y )函数是计算x的y次方。
        return math.pow(sum, 1/p)# 距离公式。
    else:
        return 0

例3.1

x1 = [1, 1]
x2 = [5, 1]
x3 = [4, 4]

# x1, x2
for i in range(1, 5):
    r = { '1-{}'.format(c):L(x1, c, p=i) for c in [x2, x3]}
    # 一条语句循环两次x2、x3，当x2时，当前i产生一个值，当x3时，当前i产生一个值。
    print(min(zip(r.values(), r.keys())))

注：r{keys:values}是字典的形式。
注：当p=1时，先取，x1距离x2的距离、x1距离x3的距离，再取，最小的距离。
注：当p=2时，先取，x1距离x2的距离、x1距离x3的距离，再取，最小的距离。
注：当p=2时，先取，x1距离x2的距离、x1距离x3的距离，再取，最小的距离。
注：当p=2时，先取，x1距离x2的距离、x1距离x3的距离，再取，最小的距离。

python实现，遍历所有数据点，找出n个距离最近的点的分类情况，少数服从多数

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from collections import Counter

# data
iris = load_iris() #导入库中的数据集
df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
df['label'] = iris.target
#定义实验中包含的鸢尾花的特征属性及其对应标签
df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label']
# data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])

df #查看数据集的内容

绘制散点图如下

plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0')
plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()

data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])
X, y = data[:,:-1], data[:,-1]
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2)
#train_test_split()函数

注：train_test_split函数用于将矩阵随机划分为训练子集和测试子集。
注：并返回划分好的训练集测试集样本和训练集测试集标签。
注：X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2)
注：表示将数据集按照数据集X，y进行切割划分为训练集合测试集，
浮点数表示测试集占总样本的百分比。

class KNN:
    def __init__(self, X_train, y_train, n_neighbors=3, p=2):
        """
        parameter: n_neighbors 临近点个数
        parameter: p 距离度量
        """
        self.n = n_neighbors
        self.p = p
        self.X_train = X_train
        self.y_train = y_train
        
    def predict(self, X):
        # 取出n个点
        knn_list = []
        for i in range(self.n):
            dist = np.linalg.norm(X - self.X_train[i], ord=self.p)
            #np.linalg.norm函数
            #np.linalg.norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)
            #① x: 表示矩阵（也可以是一维）
            #② ord：范数类型
            knn_list.append((dist, self.y_train[i]))
        
        for i in range(self.n, len(self.X_train)):# 取从第三个开始往后测试集的所有点。
            max_index = knn_list.index(max(knn_list, key=lambda x: x[0]))
            # 首先max函数里面选取出  knn_list 里面最大的距离数据
            # 然后取出它的索引存在 max_index
            dist = np.linalg.norm(X - self.X_train[i], ord=self.p)
            # 继续计算待分类点与其他训练集数据的欧式距离
            if knn_list[max_index][0] > dist:
                knn_list[max_index] = (dist, self.y_train[i])
                # 每次循环迭代knn_list的数据 目标是找到距离小的点
                # 如果新的点比之前列表中的距离要小 那么就添加进去 因为比较的是最大点
                # 要做的就是把距离大的点从列表中剔除出去
        
        # 统计
        knn = [k[-1] for k in knn_list]
        # 解析列表 把对应的类别放入新的列表
        # 则knn为数据形式 [1.0, 1.0, 1.0]
        count_pairs = Counter(knn)
        #  Counter类的目的是用来跟踪值出现的次数。它是一个无序的容器类型，以字典的键值对形式存储，其中元素作为key
        # 此处就是为了统计每个类别出现的次数，好方便后面最终确定待分类点属于哪一类。
        # 对应数据格式
        # Counter({1.0: 3})
        max_count = sorted(count_pairs, key=lambda x:x)[-1]
        #Lambda()函数
        #a = lambda x,y,z:(x+8)*y-z
        #print(a(5,6,8))
        #注：传入多个参数的lambda函数
        return max_count
        # 最后进行排序 得出出现次数最多的那个类别 作为最终的分类结果。
        # 因为 sorted返回的数据格式是列表形式 所以需要进行索引[-1][0]
        # 如  [1.0]
    def score(self, X_test, y_test):
        right_count = 0
        # 分类正确的次数 初始为 0
        n = 10
        for X, y in zip(X_test, y_test):
            label = self.predict(X)
            # print("预测类别为：{}".format(label))
            # print("实际类别为： {}".format(y))
            # print("")
            if label == y:# 如果分类正确
                right_count += 1# 次数 +1
        return right_count / len(X_test) # 返回最终分类结果表现 正确次数/测试数据集总数。

clf = KNN(X_train, y_train)

clf.score(X_test, y_test)

test_point = [6.0, 3.0]
print('Test Point: {}'.format(clf.predict(test_point)))

plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0')
plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1')
plt.plot(test_point[0], test_point[1], 'bo', label='test_point')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()

scikitlearn（Scikit学习实例）

from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier

clf_sk = KNeighborsClassifier()
clf_sk.fit(X_train, y_train)

clf_sk.score(X_test, y_test)

sklearn.neighbors.KNeighborsClassifier
n_neighbors: 临近点个数
p: 距离度量
algorithm: 近邻算法，可选{'auto', 'ball_tree', 'kd_tree', 'brute'}
weights: 确定近邻的权重

kd树
① kd树是一个二叉树结构，它的每一个节点记载了【特征坐标，切分轴，指向左枝的指针，指向右枝的指针】。
注：其中，特征坐标是线性空间 Rn 中的一个点 (x1,x2,…,xn)。
注：切分轴由一个整数 r 表示，这里 1≤r≤n，是我们在 n 维空间中沿第 r 维进行一次分割。
注：节点的左枝和右枝分别都是 kd 树。
注：给定一个数据样本集 S⊆Rn 和切分轴 r，以下递归算法将构建一个基于该数据集的 kd 树，每一次循环制作一个节点：
② 如果 |S|=1 ( 样本集中元素只有一个 )，记录 S 中唯一的一个点为当前节点的特征数据，并且不设左枝和右枝。（|S| 指集合 S 中元素的数量）
③ 如果 |S|>1( 样本集中元素大于一个 )
3.1将 S 内所有点按照第 r 轴坐标的大小进行排序。
3.2选出该排列后的中位元素 ( 如果一共有偶数个元素，则选择中位左边或右边的元素，左随便哪一个都无所谓)，作为当前节点的特征坐标，并且记录切分轴 r。
3.3将 SL 设为在 S 中所有排列在中位元素之前的元素； SR 设为在 S 中所有排列在中位元素后的元素。
3.4再设 r←(r+1)modn。

# kd-tree每个结点中主要包含的数据结构如下
class KdNode(object):
    def __init__(self, dom_elt, split, left, right):
        self.dom_elt = dom_elt # k维向量节点(k维空间中的一个样本点)
        self.split = split # 整数（进行分割维度的序号）
        self.left = left # 该结点分割超平面左子空间构成的kd-tree
        self.right = right # 该结点分割超平面右子空间构成的kd-tree
    
class KdTree(object):
    def __init__(self, data):
        k = len(data[0]) # 数据维度
        
        def CreateNode(split, data_set): # 按第split维划分数据集exset创建KdNode
            if not data_set: # 数据集为空
                return None
            # key参数的值为一个函数，此函数只有一个参数且返回一个值用来进行比较
            # operator模块提供的itemgetter函数用于获取对象的哪些维的数据，参数为需要获取的数据在对象
            # data_set.sort(key=itemgetter(split)) 
            # 按要进行分割的那一维数据排序
            # 对data_set按要进行分割的那一维(split维)的数据排序。
            data_set.sort(key=lambda x: x[split])
            split_pos = len(data_set) // 2 # //为Python中的整数除法
            median = data_set[split_pos] # 中位数分割点
            split_next = (split + 1) % k # cycle coordinates
            # split_next = (split + 1) % k  实际上就是 split_next = (split + 1)，沿split + 1维进行分割。
            # 只是限制封顶为k，当为k的时候余数为0。
            
            # 递归的创建kd树
            return KdNode(median, split,
                          CreateNode(split_next, data_set[:split_pos]), # 创建左子树
                          CreateNode(split_next, data_set[split_pos + 1:])) # 创建右子树
        self.root = CreateNode(0, data) # 从第0维分量开始构建kd树,返回根节点
        
# KDTree的前序遍历
def preorder(root):
    print (root.dom_elt) # dom_elt 为 k维向量节点(k维空间中的一个样本点)
    if root.left: # 节点不为空
        preorder(root.left)
    if root.right:
        preorder(root.right)

# 对构建好的kd树进行搜索，寻找与目标点最近的样本点：
from math import sqrt
from collections import namedtuple

# 定义一个namedtuple,分别存放最近坐标点、最近距离和访问过的节点数
result = namedtuple("Result_tuple", "nearest_point nearest_dist nodes_visited")

def find_nearest(tree, point):
    k = len(point) # 数据维度
    def travel(kd_node, target, max_dist):
        if kd_node is None:
            return result([0] * k, float("inf"), 0) 
        # python中用float("inf")和float("-inf")表示正负
        # 即最近距离为无穷大，访问过的节点数为0
        nodes_visited = 1 # 如果节点不为空，此时的访问节点数为1。
        s = kd_node.split # 进行分割的维度
        pivot = kd_node.dom_elt # 进行分割的“轴”
        
        if target[s] <= pivot[s]: # 如果目标点第s维小于分割轴的对应值(目标离左子树更近)
            nearer_node = kd_node.left # 下一个访问节点为左子树根节点
            further_node = kd_node.right # 同时记录下右子树
        else: # 目标离右子树更近
            nearer_node = kd_node.right # 下一个访问节点为右子树根节点
            further_node = kd_node.left  # 同时记录下右子树
            
        temp1 = travel(nearer_node, target, max_dist) # 进行遍历找到包含目标点的区域
        
        nearest = temp1.nearest_point # 以此叶结点作为“当前最近点”
        dist = temp1.nearest_dist # 更新最近距离
        
        nodes_visited += temp1.nodes_visited
        
        if dist < max_dist:
            max_dist = dist # 最近点将在以目标点为球心，max_dist为半径的超球体内
        
        temp_dist = abs(pivot[s] - target[s]) # 第s维上目标点与分割超平面的距离
        if max_dist < temp_dist: # 判断超球体是否与超平面相交
            return result(nearest, dist, nodes_visited) 
        # 不相交则可以直接返回，不用继续判断
        # result是一个namedtuple函数。

        #----------------------------------------------------------------------
        # 计算目标点与分割点的欧氏距离
        temp_dist = sqrt(sum((p1 - p2) ** 2 for p1, p2 in zip(pivot, target)))
        if temp_dist < dist: 
            # 如果目标点与分割超平面的距离小于max_dist为半径的超球体。
            nearest = pivot # 更新最近点
            dist = temp_dist # 更新最近距离
            max_dist = dist # 更新超球体半径
            
        # 检查另一个子结点对应的区域是否有更近的点
        temp2 = travel(further_node, target, max_dist)
        
        nodes_visited += temp2.nodes_visited
        if temp2.nearest_dist < dist: # 如果另一个子结点内存在更近距离
            nearest = temp2.nearest_point # 更新最近点
            dist = temp2.nearest_dist # 更新最近距离
            return result(nearest, dist, nodes_visited)

        return travel(tree.root, point, float("inf")) # 从根节点开始递归
    # 此时的float("inf")表示最大距离max_dist为正无穷。

例3.2

data = [[2,3],[5,4],[9,6],[4,7],[8,1],[7,2]] # 获得数据集
kd = KdTree(data) # 根据数据集，搭建一个KdTree
preorder(kd.root) # KdTree前序遍历，查看是否KdTree搭建成功。

from time import clock
from random import random

# 产生一个k维随机向量，每维分量值在0~1之间
def random_point(k):
    return [random() for _ in range(k)]

# 产生n个k维随机向量
def random_points(k, n):
    return [random_point(k) for _ in range(n)]

ret = find_nearest(kd, [3,4.5])
print (ret)

#注：ret为find_nearest()函数，函数最后返回的是距离最近的点、最近的距离，访问过的节点次数。

N = 400000
t0 = clock()
kd2 = KdTree(random_points(3, N)) # 构建包含四十万个3维空间样本点的kd树
ret2 = find_nearest(kd2, [0.1,0.5,0.8]) # 四十万个样本点中寻找离目标最近的点
t1 = clock()
print ("time: ",t1-t0, "s")  # 计算寻找的时间

（2）实验运行结果截图：

（3）分析核心算法的复杂度：
线性搜索时间复杂度较高，因而引入了kd树这一数据结构，能够一定程度上加快搜索效率；如果实例点是随是随机分布的，kd树搜索复杂度是O(logN)，这里N是训练实例数，kd树更适合于训练实例数远大于空间维数时的k近邻搜索。但是当空间维数接近训练实例数时，它的效率会迅速下降，几乎接近线性扫描。

（4）讨论K近邻算法的优缺点：
i)优点
1.简单易用
2.没有显式的训练过程，在训练过程中仅仅是把训练样本保存起来，训练时间开销为0，是懒惰学习(lazy learning) 的著名代表 。
3.预测效果好
4.对异常值不敏感

ii)缺点
缺点1：效率低下
原因：如果训练集有m个样本，n个特征，预测每一个新样本，需要计算与m个样本的距离，每计算一个距离，要使用n个时间复杂度，则计算m个样本的距离，使用m * n个时间复杂度；
算法的时间复杂度：反映了程序执行时间随输入规模增长而增长的量级，在很大程度上能很好反映出算法的优劣与否。
算法的时间复杂度与空间复杂度，参考：算法的时间复杂度和空间复杂度
可以通过树结构对k近邻算法优化：KD-Tree、Ball-Tree，但即便进行优化，效率依然不高；

缺点2：高度数据相关
机器学习算法，就是通过喂给数据进行预测，理论上所有机器学习算法都是高度数据相关；
k近邻算法对outlier更加敏感：比如三近邻算法，在特征空间中，如果在需要预测的样本周边，一旦有两个样本出现错误值，就足以使预测结果错误，哪怕在更高的范围里，在特征空间中有大量正确的样本；

缺点3：预测的结果不具有可解释性
按k近邻算法的逻辑：找到和预测样本比较近的样本，就得出预测样本和其最近的这个样本类型相同；
问题：为什么预测的样本类型就是离它最近的样本的类型？
很多情况下，只是拿到预测结果是不够的，还需要对此结果有解释性，进而通过解释推广使用，或者制作更多工具，或者以此为基础发现新的理论/规则，来改进生产活动中的其它方面——这些是kNN算法做不到的；

缺点4：维数灾难
维数灾难：随着维度的增加，“看似相近”的两个点之间的距离越来越大；
例：[0, 0, 0, ...0]和[1, 1, 1,...1]，按欧拉定理计算，元素个数越多，两点距离越大；
方案：降维（PCA）；

（5）K近邻算法常见的应用场景：
主要有：
①python中的文本自动分类
②社交网站的数据分类
③手写识别系统的数据分类
④聚类分析，多分类领域

四、实验小结
通过此次实验，可以看出：K值的选择会对K近邻算法的结果会产生重大影响。如果选择较小的K值，就相当于用较小的领域中的训练实例进行预测，“学习”近似误差会减小，只有与输入实例较近或相似的训练实例才会对预测结果起作用，与此同时带来的问题是“学习”的估计误差会增大，换句话说，K值的减小就意味着整体模型变得复杂，容易发生过拟合；如果选择较大的K值，就相当于用较大领域中的训练实例进行预测，其优点是可以减少学习的估计误差，但缺点是学习的近似误差会增大。这时候，与输入实例较远（不相似的）训练实例也会对预测器作用，使预测发生错误，且K值的增大就意味着整体的模型变得简单。K=N则完全不可取，因为此时无论输入实例是什么，都只是简单的预测它属于训练实例中最多的一类，模型过于简单，忽略了训练实例中大量的有用信息。
所以在实际应用中，K值一般取一个比较小的数值，例如可以采用交叉验证法（一部分样本做训练集，一部分样本做测试集）来选择最优的K值。