初步了解机器中浮点数表示方法

浮点数是小数点位置变化的数，能表示的范围比定点数大很多。

比如二进制数11.11可以表示为111.1×2^-1或1.111×2¹等，我们由此规律能得到二进制数更一般形式N=2^E×F，E称为阶码，F称为尾数。这个数在机器里怎么存呢，是把正负符号、2、E、E的正负号、F转为01序列存起来吗？

如果由我们自己来设计计算机，这样的确可以，不过总有人会想出更聪明的办法。首先符号位必须占一位，2可以省略不存，默认的。阶码E转为移码存，这样就不用存阶码的正负符号了。最后是很讲究的尾数，尾数为0当然直接存0，不为0时，尾数域的最高位必须为1，比如0.001×2⁰必须要变0.1×2^-2,也就是小数点后不能为0，像0.001小数点后为0，就要变化阶码，使得小数点移到1前变成0.1，然后只存小数点之后的数，这个过程叫尾数规格化。

所以一般来说，浮点数的机器码表示如下：

符号位	阶码 （移码）	尾数(定点小数)

现实中具体到底如何实现有许多方法，比如阶码放在尾数后，符号位放在阶码后，阶码用补码表示等。
用一道题目来帮助理解：


如图1所示为计算机中16位浮点数的表示格式。
某机器码为1110001010000000。
若阶码为移码且尾数为反码，其十进制真值为 (1) ;
若阶码为移码且尾数为原码，其十进制真值为 (2) ;
若阶码为补码且尾数为反码，其十进制真值为 (3) ;
若阶码为补码且尾数为原码，其十进制真值为 (4) ，将其规格化后的机器码为 (5) 。
(1) ～ (4)
A．0.078125
B．20
C．1.25
D．20.969375
(5)
A．1110001010000000
B．11110101000000
C．1101010100000000
D．11110001010000

我的分析：
(1)阶码为移码，即1110为移码，对应原码为0110，其十进制真值为6，尾数001010000000为反码，正数反码换成原码为原形式，其对应十进制真值为2^-2+2^-4=0.3125，所以整个数十进制真值为2⁶×0.3125=20
(2)阶码为移码，尾数为原码，和(1)是一样的。

(3)阶码为补码，补码1110对应的原码为1010，即-2，尾数为反码，(1)已经分析过为0.3125，则整个数十进制真值为2^-2×0.3125=0.078125
(4)阶码1110为补码,真值为-2，尾数为原码，同(3)

(5)浮点数规格化表示，是尾数值不为0时，尾数域最高有效位要为1，比如0.001×2⁰必须要变0.1×2^-2， 题目中尾数域为001010000000第一个0为符号位不管，第二个0是可以消去的，变成010100000000，这样消去后，阶码要相应地减1变为1101，故规格化后的机器码1101010100000000

有个名叫IEEE-754的标准就统一了浮点数具体实现方法，目前大多数高级语言都按照IEEE-754标准来规定浮点数的存储格式，比如Java,还有我们熟知的C语言。

按IEEE-754标准定义的单精度浮点数float：

符号位	阶码 （移码）	尾数(定点小数)
0位	1~8位	9~31位

双精度浮点数double

符号位	阶码 （移码）	尾数(定点小数)
0位	1~11位	12~63位

IEEE-754中尾数的规格化有所不同，之前我们说尾数规格化规定小数点后为1，IEEE-754中就将此固定的1设为默认值去掉了，因此尾数域表示的值为1.xxxx（只存储xxxx，1是默认有的），这样使得尾数表示范围多上一位。

IEEE-754中阶码的移码也有特别规定，要除去阶码的全0和全1状态，因此像float中阶码的取值不是0~255，而是1 ~ 254，也就是说这里的阶码的移码不是简单地由补码变符号而来，还要减1，换个说法就是偏移量不为128了，而为127。所以对于float来说，真正指数的范围为-126 ~+127，所表示的数范围也就为2^-126 ~2¹²⁷即10^-38 ~10³⁸
举个栗子

将176.0625表示为符合IEEE-754标准的单精度浮点数。

1. 首先将176.0625化为二进制：10110000.0001
2. 尾数规格化：1.01100000001×2⁷，因此尾数域求出来了，为01100000001
3. 阶码的移码：7的二进制为00000111，移码为10000110。
4. 拼接：0 10000110 01100000001000000000000
   尾数域记得要补0使尾数有23位。