2025 郑州一测 T18: 双变量问题探讨

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已知函数 $f(x) = \log_a x(a>0, a\neq 1)$, $y = f(x)$ 关于 $y=x$ 对称的函数记为 $g(x)$.

(I) 若 $a>1$, 方程 $f(x)-g(x)=0$ 有且仅有一个实数解, 求 $a$ 的值.

(II) 讨论方程 $g(x) - x^a = 0$ 在 $(0, +\infty)$ 上实数解的个数.

(III) 若 $a=e$, 设函数 $F(x) = 2\sqrt x - f(x)$, 若 $F'(x_1) = F'(x_2)(x_1\neq x_2)$, 求 $F(x_1) + F(x_2)$ 的取值范围.

第一问

首先我们知道 $g(x) = a^x$. 条件显然等价于 $f(x) = g(x) = x$ 有且仅有一个实数解. 也即 $f(x), g(x)$ 与 $y = x$ 相切

那么有且仅有一个 $x_0$ 满足 $a^{x_0} = x_0, a^{x_0}\ln a = 1$.

那么我们知道 $x_0 = \frac{1}{\ln a}$, 代入 (1) 式, 即 $a^{\frac {1}{\ln a}}=\frac1{\ln a}$.

直接解显然没得写, 但注意到有: $a^{\frac{1}{\ln a}}=(\mathrm e^{\ln a})^{\frac{1}{\ln a}}=\mathrm e$, 那么 $a=\mathrm e^{\frac {1}{\mathrm e}}$.

第二问

非常平凡. 两边同时取对数, 经典的 $\frac{\ln x}{x}$ 的图像.

第三问

正片开始.

首先按照常规思路写出来 $F'(x) = \frac{1}{\sqrt x} - \frac 1x$, 我考场上试图进行齐次化构造, 但压根构不出来. 我思考了一段时间, 仍然无法弄清楚为什么这样是不可行的.

场下补题的时候, 我想起了之前看到的一篇博客中的一句话:

这个分式看起来就很烦, 我们考虑换元掉它.

于是我明白了. 令 $t=\frac {1}{\sqrt x}$, 那么 $F'(x_1) = F'(x_2)$ 等价于 $t_1(1-t_1) = t_2(1-t_2)$.

平凡的二次函数, 我们得知 $t_1 + t_2 = 1$.

带回原式进行化简得到 $F(x_1)+F(x_2) = \frac{2}{t_1}+\frac{2}{t_2}+2\ln(t_1t_2)$, 运用齐次化手法容易转化为 $4+\frac{2t_1}{t_2}+\frac{2t_2}{t_1}+2\ln(t_1t_2)$, 运用均值不等式可以发现原式 $>8-4\ln 2$.

总的来看, 运用换元手法, 可以揭示看起来复杂的函数背后的实质, 从而解答问题.

在 24 版金考卷的某一套原创题上, 我也遇见了类似的换元处理手法, 当我当时并没有在意. 这些平日掠过的细碎之处在最后给了我致命一击.

但是, 我对于双变量问题的理解仍然很浅薄, 还需要大量的练习进行深化理解. 如果读者有自己的见解, 也恳请在评论区提出.