LOJ3224

nb 题。感觉相当 Educational。

自己做的时候大概试了试 [HAOI2017] 方案数 的维护方式；模拟 BFS 维护每一行能到达的状态等。但没一个可行的。

一个 DS 维护的 trick：保留关键元素。

本题中最特殊的肯定是最靠上，最靠下的两条路径。尝试只维护这两条路径，分别设为 \(P_1, P_2\)。

一个障碍点 \((x,y)\) 如果在 \(P_1,P_2\) 上则必然无解。否则如果不在 \(P_1, P_2\) 上就先存起来备用，此刻它没有影响。

接下来考虑点在 \(P_1/P_2\) 上的情况。只讨论 \(P_1\)。

一种刻画路径的方法是维护每列对应线段的最上方 \(\mathrm{up}[y]\)，\((x,y)\) 在路径上说明 \(x\in [\mathrm{up}[y-1], \mathrm{up}[y]]\)，此时对 \(y-1\sim m\) 的 \(\rm up\) 和 \(x+1\) Check Max 即可。

然而新的路径上仍然有可能有原先的障碍点，发现路径的变化其实不大，并且一个障碍点发挥作用后就会保留在路径上方不再贡献，递归找出障碍点暴力更新即可。

时间复杂度 \(\mathcal O((n+q)\log n)\)。

这个 trick 没有见过哦，似乎之前在 APIO 2023 游记里看到过 T2 也是类似的思想。到时候看一看题。

编不出来 motivation，大概感受一下就是，原图信息量太大，而变化量并没有特别大，可是直接维护原图不好维护，同时有较为明显的特殊元素，仅保留特殊元素的信息便可完成判定，所以可以这样想一想。