min-max 容斥题目小结
珍惜每一刻。
看了看 min-max 容斥的经典题发现以前不会做的现在还是不会做，以前看了题解的现在也不会做哎哎。加训加训。
虽然好像要退役了，但我还是很喜欢组合数学！所以没有啥用也要好好学，熟练一下处理技巧。感觉概率还是挺难的，要不断地找到合适的视角，正难则反的思想灵活运用。
尽量保证由易到难。也算是留下一个我四处收集来的题单。需要多项式技术的题会打 * 不过还是可以胡一下。
都是口胡，如果要看的话不保证没锅（
有 “期望”，“最值” 或者可以化成这样形式的都可以想想 min-max 容斥。毕竟这两个东西套在一起真的不好处理。就像式子里有 \(\gcd(i,j)\) 的时候肯定考虑化成 \(\varphi\)，有更好描述的工具还是尽量用用。
I. P3175
拆位，求 \(E_{\max}(tim_i)\)，min-max 容斥转化为 \(\sum\limits_{S\subseteq T} (-1)^{|S|-1} E_{\min}(S)\)。
考虑 \(E_{\min}(S)\)，可以转换成 \(1+\sum_{i} P(i)\)，其中 \(P(i)\) 表示第 \(i\) 刻 \(S\) 中仍未被选上的概率。只需要算 \(T\setminus S\) 中的元素概率和即可。使用或卷积计算。
哦对了这个也可以理解为，有 \(p\) 的概率选上的话期望次数就是 \(\frac{1}{p}\) 次。然后因为直接算 \(p\) 很难顶所以正难则反，算 \(S\) 之外的位对应的 \(p\)，然后式子换成 \(\frac{1}{1-p}\) 即可。
II. loj2542
随机游走 /fn。
直接状压 dp 感觉挺困难，考虑 min-max 容斥描述。还是计算 \(E_{\max}(tim_i)\)，转换成求每个集合的 \(E_{\min}(tim_i)\)。外部 SOSDP 就行。
接下来开始想各种乱搞，没有好好想 dp。由于是树上随机游走，没法像刚刚一样用基本组合方法求解，考虑 dp。枚举 \(S\)，设 \(f_i\) 表示从 \(i\) 走到点集中至少一个点的期望步数。树上高消即可。
一开始想着把 \(S\) 扔状态里，但这太怪了。不管怎么样都没有一个比较贴合 \(E_{\min}\) 的状态设计，所以把 \(S\) 放外面枚举，感觉很自然但没想到 (；′⌒`)。
III. *ABC331G
哦哦，哦哦哦？
感觉是不是有点板。min-max 容斥一下 \(E_{\max}(S) = \sum\limits_{T\subseteq S} (-1)^{|T|-1} E_{\min}(T)\)。
注意到 \(E_{\min}\) 的计算只和 \(|T|\) 以及 \(\sum\limits_{i\in T} c_i\) 有关，仔细想想 \((-1)^{|T|-1}\) 也可以在转移中体现，于是只需要记录 \(\sum c\)。不妨认为前面的系数是 \((-1)^{|T|}\)，最后整体乘上 \(-1\) 即可。
设 \(F(i,j)\) 表示前 \(i\) 个位置选出 \(\sum c = j\) 的系数之和。转移 \(F(i+1,j)\gets F(i,j)-F(i,j-c_{i+1})\)。用 GF 描述就是 \(F_{i+1} = F_i(1-x^{c_{i+1}})\)。所以最后的生成函数就是 \(F = \prod\limits_{i=1}^n (1-x^{c_i})\) 。
伟大的计数 bot 在去年的这个时候就告诉我们可以使用取 \(\ln\) 再 \(\exp\) 做到线性对数，但我不会，所以只能强行分治 + NTT 实现 2log。但我还不会 NTT，哈哈了。泪点解析：
IV. hdu 4336
纯板子。
V. P4707
开始上强度了！
首先必须要注意到，对于这类问题，我们竭尽所能将问题转化为只含 \(E_{\min}\) 的形式，因为 \(E_{\min}\) 是好算的，其它任何形式都比较困难。
上来一看要求 \(E_{kmin}\)，但是用 kth-minmax 容斥出来了一个 \(E_{\max}\)，这很不好。但是我们知道 min-max 在整体层面上存在转化，即 kth min = (n - k + 1)th max。于是 \(k\gets n - k + 1\) 转化为求 kth max。有：
考虑 dp。注意到贡献形式和上个题差不多，不好转移 /ll，所以先考虑记到状态里。然后这个系数，，，也很烦，都扔到状态里。
设 \(f(i,j, z)\) 表示前 \(i\) 个选了 \(j\) 个，目前的和是 \(z\) 的贡献和。直接跑肯定过不去唉，考虑这个 \(n-k\le 10\) 的条件，说明目前 \(k\le 11\)。 对着答案的这个式子看一看感觉能用上这个性质的也只有 \(\binom{|T|-1}{k-1}\) 的计算。看上去要利用组合数递推公式，那我来推一下试试。唉好像第二个符号写反了，而且想不明白边界，流泪。
搬一句 ix35 的话：
一般这种 DP 的优化思路就是将一部分系数通过组合意义或组合恒等式化到 DP 值中去。
设 \(f(i,j,k)\) 前 \(i\) 个 \(\sum p = j\)，\(k\) 是底下那个底数时的系数和。转移就是 \(f(i, j,k) = f(i-1,j,k) - f(i - 1, j - p_i, k) + f(i - 1, j - p_i, k-1)\)。后面那个加号是因为 \((-1)^{|T| - k}\) 里面，\(|T|\) 加一，\(k\) 减一，所以不变，还是加号。
真正难的在于边界咋设计。没看懂 Sooke 的题解，感觉 \(f(0,0,k)=1\) 的设计挺合理啊。不懂了。
这个边界感觉好难啊，当时我为啥觉得我自己会了啊？？？
VI. *P5644
最困难的一集。不过这种概率相关的东西一点比较好的是，如果一个方向看起来没啥前途，基本上可以直接考虑转化而不用畏首畏尾。
发现直接做怎么都没法做啊，考虑转化一下，因为不关心具体时间只关心相对时间，可以假设每次随机崩一个人，崩到似人就再崩一次直到崩到活人。这样每个活人被崩的概率和原来一样。
这个转化要记下来，挺有用的。其实可以理解为 CF280C 那个转化。
直接算 1 的概率仍然困难，考虑容斥，钦定 \(1\) 被崩以后 \(S\) 内的元素还活着，此时根据上一步转化我们不用关心 \(1\cup \{S\}\) 之外的部分。此时概率就是 \(\frac{p_1}{p_1+\sum_{i\in S} p_i}\) 带一个 \((-1)^{|S|}\) 的容斥系数。贡献不好算但是可以保留 \(\sum p\) 和容斥系数最后算，于是转化成了 ABC331G，用那个 \(\ln-\exp\) 的套路单 log 过掉。
VII. loj6102
我们知道 \(\gcd(f_i, f_j) = f_{\gcd(i, j)}\)，但是 lcm 能不能这么算暂且蒙古，能整出来 lcm 也是巨大的。于是我们考虑 GCD - LCM 容斥：
就是对指数做了一个 min-max 容斥啦。因为 gcd, lcm 本质就是指数的 min, max。
考虑这题的话，要统计每个 gcd 对应的容斥系数之 和。
这个似乎比较经典，莫比乌斯函数容斥一下就行。线性对数。
upd：这个写代码了补充点细节。记录 \(buc_d=\sum_{i} [d|a_i]\)，然后 \(d\) 的系数根据二项式定理初始是 \(1\)，往后调和级数枚举累加上系数乘以 mobius 函数即可。注意指数和答案模数分别是 \(\varphi(p)\) 和 \(p\)，写的时候要小心。https://loj.ac/s/2013538
VIII. gym102978H
其实并不算 min-max 容斥。但还是放上来了，毕竟题不错。反转了，其实就是 min-max 容斥，只不过也可以常规容斥。
这个题和猎人杀的区别在于，我们不关心具体哪个数最后被删而只关心我们集合里的元素，min-max 容斥写一些发现挺不对。此时我们要换一种视角。
考虑没有 \(B\) 的时候显然会用 \(n\) 次，那么有 \(B\) 的时候只需要考虑在 \(A\) 删完之前有多少个 \(B\) 被删。这个似乎是期望的线性性的经典应用。这篇文章 讲得很好呀。
于是枚举被删的评论，直接算在 \(A\) 之前的概率很牛魔，变成在 \(A\) 之后的概率就是一个猎人杀了。直接 min-max 容斥 + 背包就好了！
其实直接算也行，限制可以刻画成若干集合的并，用容斥原理推一下也不错唉。
IX. AGC038E
随机取数还是考虑 min-max 容斥。有：
降智了啊啊啊，\(E_{\min}\) 可以再转化为每一刻没选上的概率之和，然后就好做了，对着 dp 就行了唉。
upd: 我是 shaber。这个 dp 并不简单。
X. ABC242Ex
还不会，如果没退役就再来胡扯几句。
XI. CF1687E
有点过于超前了。不会哎哎。
