拉格朗日插值

拉格朗日插值：给定 $n+1$ 个点值 $(x_i,y_i)$，对应唯一一个 $n$ 次多项式，带入 $f(k)=\sum\limits_{i=1}^{n+1} y_i\prod\limits_{j\neq i} \frac{k-x_j}{x_i-x_j}$。

基本思想就是，构建 $n+1$ 个多项式使得 $x=x_i$ 时为 1，$x=x_j(j\neq i)$ 时为 0。

当你取的点值连续的时候可以线性插值。这个时候分母就是 $(-1)^{n+1-i}(i-1)!(n+1-i)!$。可以直接预处理。分子一般是直接维护前缀后缀积。

例题 1：CF622F

首先我们要知道几个基本的结论：

• $n$ 次多项式的前缀和是 $n+1$ 次多项式。
• $n$ 次多项式的差分是 $n-1$ 次多项式。

证明可以看看 Imagine 的博客，一般情况可以推一推式子化成自然数幂和的形式。

回到这个题，我们知道答案是 $k+1$ 次多项式，所以带入 $k+2$ 个点值即可做到 $\mathcal O(k)$。因为 $Id^k$ 是积性函数所以是可以预处理的。

例题 2：ABC208F

我们考虑每个幂对答案的贡献。当我们固定 $m$（把 $m$ 当成常数）列出式子，发现是一个关于 $n$ 的 $k+m$ 次多项式，于是带入 $k+m+1$ 个值插值即可。

例题 3：CF995F

暴力 dp 容易列出。我们归纳证明 $f_u(d)$ 是一个 $siz_u-1$ 次的多项式。

首先叶子节点是 0 次多项式。然后对于非叶子节点 $u$，它的子节点 $v$ 对应 $f_v$ 做前缀和得到一个 $siz_v$ 次多项式，然后乘起来得到 $\sum_v siz_v=siz_u-1$ 次多项式。

例题 4：P4463

用类似的方法证明最后答案是一个 $2n$ 次多项式。

例题 5：P3643

将权值区间左闭右开离散化，发现每一段内的权值转移形式相同。于是分成 $\mathcal O(n)$ 段，每段内部进行线性插值即可。