集合不相等容斥 笔记

学习自 zhouyuhang 老师的 ABC236Ex 题解。其实就是完善了一下 zhouyuhang 老师没写的一些简单部分。

我们先从一个经典的容斥理解：正难则反，我们钦定 \(S\) 内部全部相等，那么容斥系数是 \((-1)^{|S|}\)，于是答案就是 \(\sum\limits_{S} (-1)^{|S|}f(S)\)。

注意到这个集合不相等容斥是一个完全图的形式，于是有一个非常好的性质：容斥系数只和集合大小有关。

我们考虑将点的全集 \(U\) 的一个划分 \(\mathcal S\)，那么这种方案的容斥系数就是 \(\prod\limits_{s\in \mathcal S} coef_{|s|}\)，其中 \(coef_i\) 表示将一个大小为 \(i\) 的完全图，用 \(e\) 条边使之联通的容斥系数（即 \((-1)^e\)）之和。于是转化为一个经典的 dp 问题。

正难则反。我们用所有方案减去不连通的方案。所有方案就是一个经典二项式定理：\(\sum\limits_{k=0}^{i(i-1)/2} \binom{i(i-1)/2}{k} (-1)^k=[i=1]\)，然后对于不连通的方案，我们枚举最后一个点所在的联通块大小可以得到 \(\sum\limits_{j=1}^{i-1}\binom{i-1}{j-1}coef_j\times 不知道什么东西\)。后面这个摆了没写，其实就是剩下那一部分的容斥系数之和。之所以没写是因为你发现对于 $n\ge2 $ 的完全图，选出偶数条边和选出奇数条边的方案数相同（二项式系数的经典结论），于是容斥系数直接抵消为 0 了，所以我们只需要关心 \(j=i-1\) 的情况，所以 \(coef_1=1,coef_i=-coef_{i-1}(i-1)=(-1)^{i-1}(i-1)!\)。这样就整完了。