[CF1716D]Chip Move 题解

传送门QAQ

题目大意

一个数轴上，有一个芯片初始位置为 \(0\)，它可以向右移动，第 \(i\) 次移动的距离必须是 \(k+i-1\) 的倍数，求走到 \(1\sim n\) 每个点的方案数。

\(1\le k \le n\le 2\times 10^5\)。

Preface

这道题真的后悔死了，场上就发现了性质，但优化没想出来，结果比赛一结束想出来了QAQ。

（写这篇文章时官方题解还没发布，这个方法是我自己 yy 出来的，可能比官方题解和别的大佬麻烦不少 qwq）

upd：官方题解出来了，标算是按步数转移，比我的方法简单多了 QAQ，而且没有空间的顾虑，推荐去看看官方题解。

Analysis

首先会发现这题是一个 DP。

先把最简单朴素的 DP 列出来，然后再考虑优化：

令 \(f(i,j)\) 表示从 \(0\) 走 \(j\) 步到达点 \(i\) 的方案数。

初始状态：\(f(0,0)=1\)。

状态转移方程：\(f(i,j) =\sum\limits_{x=1}^{\lfloor \dfrac{i}{k+j-1} \rfloor} f(i-x\times (k+j-1),j-1)\)。

然鹅这样时空复杂度均无法接受，考虑优化。

我们会发现一个问题：从 \(0\) 走到 \(n\) 的最大步数似乎并不是特别多。

假设 \(k\) 取最小值 \(1\)，每步走的距离都最近，设步数为 \(x\)，则：

\(1+2+\ldots x= \frac{x(x+1)}{2} \le n\)。

这时会发现，最大步数是 \(O(\sqrt{n})\) 级别的，打个表列出来会发现最大也就 \(640\) 左右。

但是这么大的空间还是无法承受，并且我们上面的 DP 方程达不到 \(O(n\times 640)\)。

（考场上我在这里卡住了，结果一下考场就想出来了 qwq）

观察一下上面的状态转移方程，会发现方程的第一维，\(i,i-(k+j-1),i- 2\times(k+j-1)\ldots\) 这样写下去貌似有一些规律。

其实不难发现 \(i\equiv i-x\times (k+j-1) \pmod{(k+j-1)}\)。

那我们为什么要一点一点往前枚举呢？这完全可以直接开一个数组把前面的贡献全部存起来。

具体而言，令 \(cnt(x,y)= \sum\limits_{i\bmod (k+x)=y}f(i,x)\)。

初始状态：\(cnt(0,0)=1\)。

此时状态转移方程化为：\(f(i,j)= cnt(j-1,i \bmod (k+j-1))\)。

每次遍历完 \(i\)，即将遍历 \(i+1\) 时再维护一下 \(cnt\) 数组即可。

即 \(cnt(j,i\bmod (k+j)) \gets cnt(j,i \bmod (k+j))+f(i,j)\)。

然鹅我们还要注意一下空间的问题，\(f\) 数组其实已经不是真正的 DP 数组了，可以把第一维直接省去。

但是 \(cnt\) 这两维还是很不好处理 o(╥﹏╥)o

此时就要充分发挥我们的乱搞精神，发现 \(k \le 2\times 10^4\) 的时候 \(cnt\) 还是开的下的，而 \(k\gt 2\times 10^4\) 时步数和转移次数至多为 \(10\)，直接用我们最上面提到的朴素 DP 即可。

时间复杂度 \(O(n\sqrt{n})\)，卡得比较紧，为了常数小一点不建议开 long long。

Code

// Problem: D. Chip Move
// Contest: Codeforces - Educational Codeforces Round 133 (Rated for Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1716/problem/D
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
#define pb emplace_back
#define Chtholly set<node>::iterator
#define SIT set<int>::iterator
#define VEC vector<int>::iterator
#define mp make_pair
#define fir first
#define sec second
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
const int mod = 998244353;
const int INF = 1e9;
const ll INFll = 1e16;
const int maxn = 2e5 + 5;
const int maxm = 3e6 + 5;
const int maxk = 1005;
int n,k;
int f[maxn],dp[maxn][15];
int cnt[maxk][maxk * 25];
void subtask() {
	dp[0][0] = 1;
	for(int i = 1;i < k;++ i) {
		printf("%d ",0);
	}
	for(int i = k;i <= n;++ i) {
		int ans = 0;
		for(int j = 1;j <= 10;++ j) {
			for(int x = 1;x <= i / (k + j - 1);++ x) {
				(dp[i][j] += dp[i - x * (k + j - 1)][j - 1]) %= mod;
			}
			(ans += dp[i][j]) %= mod;
		}
		printf("%d ",ans);
	}
	return ;
}
int main() {
	scanf("%d %d",&n,&k);
	if(k >= 20000) {
		subtask();
		return 0;
	}
	vector<int> G;
	int L[maxn];
	for(int cnt = 0,i = 0;cnt < n;) {
		cnt += k + i;
		++ i;
		G.pb(cnt);
	}
	for(int i = 1;i <= n;++ i) {
		L[i] = upper_bound(G.begin() , G.end() , i) - G.begin();
	}
	++ cnt[0][0];
	for(int i = 1;i <= n;++ i) {
		int ans = 0;
		for(int j = 1;j <= L[i];++ j) {
			f[j] = cnt[j - 1][i % (k + j - 1)];
			(ans += f[j]) %= mod; 
		}
		printf("%d ",ans);
		for(int j = 1;j <= L[i];++ j) {
			(cnt[j][i % (k + j)] += f[j]) %= mod;
		}
	}
	return 0;
}

完结撒花✿✿ヽ(°▽°)ノ✿