[NOI 2010]超级钢琴 题解
[NOI 2010] 超级钢琴
思路
这道题我的思路离正解就差了一步 QAQ.
首先打个暴力上去，可以发现几乎全都 MLE 了。
数据中有一组特殊情况：\(k = 1\) ，即求出最大的区间长度在 \([L,R]\) 间的区间和。
求区间和，不难想到利用前缀和优化，记原数组为 \(a\)，前缀和数组 \(sum\) 为：
那么区间 \((l , r]\) 的和可以表示为 \(sum_r - sum_{l}\).
因此，我们枚举右端点 \(r\)，取 \([r - R,r - L]\) 区间中的最小 \(sum\) 值即可。
发现可以使用 \(\text{RMQ}\) 优化，时间复杂度 \(O(N\log N)\) ，加上暴力可得 30pts.
code：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 5e5 + 5;
int n,k,L,R;
typedef long long ll;
ll a[maxn],sum[maxn],f[maxn][20];
priority_queue<ll> q;
void ST() {
for(int k = 1;(1 << k) < n;++ k) {
for(int i = 0;i + (1 << k) - 1 < n;++ i) {
f[i][k] = min(f[i][k - 1] , f[i + (1 << (k - 1))][k - 1]);
}
}
return ;
}
int lg[maxn];
int RMQ(int l,int r) {
int k = lg[r - l + 1];
return min(f[l][k] , f[r - (1 << k) + 1][k]);
}
void work() {
for(int i = 0;i < n;++ i)f[i][0] = sum[i];
for(int i = 2;i <= n;++ i)lg[i] = lg[i >> 1] + 1;
ST();
ll ans = sum[L];
for(int i = L;i <= R;++ i) {
ans = max(ans , sum[i] - RMQ(i - L , max(i - R , 0)));
}
printf("%lld",ans);
return ;
}
int main() {
scanf("%d%d%d%d",&n,&k,&L,&R);
for(int i = 1;i <= n;++ i)scanf("%lld",&a[i]),sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
if(k == 1) {
work();
return 0;
}
for(int i = 1;i <= n - L + 1;++ i) {
for(int j = i + L - 1;j <= min(n , i + R - 1);++ j) {
ll val = sum[j] - sum[i - 1];
q.push(val);
}
}
ll ans = 0;
for(int i = 1;i <= k;++ i) {
ans += q.top();
q.pop();
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}
再想一想，可不可以再优化一下呢？
取前 \(k\) 大的区间和，显然是采用贪心的思路。
结合特殊样例，出题人似乎是在暗示从 \(k=1\) 的情况推广，进行尝试。
当 \(k = 1\) 时，直接取最大区间和即可。
那么当 \(k = 2\) 时，我们该怎么办呢？如何求出次大的值呢？
然后我就卡在这里了
当最大的区间 \([t , r_0]\) 取到后，对于所有的 \(r \neq r_0\) ，\(r\) 为区间末尾时区间的最大区间和显然可以作为备选方案。
但还有一种情况：\(r_0\) 为区间末尾时区间的次大区间和也可以作为备选方案。
设 \(r_0\) 的对应合法区间为 \([l,r]\) ，那么 \([l,t-1]\) 和 \([t + 1,r]\) 中也可能会产生一个全局次大和。
这种情况下显然可以直接枚举一下，对比两种情况的较大者即可。
推广一下，不难想到正解：
-
建立一个以区间和为关键字的大根堆 \(q\)，\(q\) 中结构体元素分别为可取的区间边界、\(r\)、对应的 \(t\) 值
-
循环 \(k\) 次，每次取出堆顶 \(u\)，设对应的区间尾端为 \(r_0\) ，边界为 \([l,r]\) ，答案累加上 \(sum_{r_0}-sum_t\) ，再把\((l,t-1,r_0,\text{RMQ(l,t-1)})\),\((t+1,r,r_0,\text{RMQ(t+1,r)})\) 加入堆，最后输出答案即可
code：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 5e5 + 5;
int n,k,L,R;
typedef long long ll;
ll a[maxn],sum[maxn],f[maxn][20];
int pos[maxn][20];
struct Chtholly {
int x,l,r,t;
Chtholly() {
x = l = r = t = 0;
}
Chtholly(int x,int l,int r,int t):x(x),l(l),r(r),t(t){};
bool operator < (const Chtholly& p)const {
return sum[x] - sum[t] < sum[p.x] - sum[p.t];
}
};
priority_queue<Chtholly> q;
void ST() {
for(int k = 1;(1 << k) <= n + 1;++ k) {
for(int i = 0;i + (1 << k) - 1 <= n;++ i) {
if(f[i][k - 1] < f[i + (1 << (k - 1))][k - 1]) {
f[i][k] = f[i][k - 1];
pos[i][k] = pos[i][k - 1];
}
else {
f[i][k] = f[i + (1 << (k - 1))][k - 1];
pos[i][k] = pos[i + (1 << (k - 1))][k - 1];
}
}
}
return ;
}
int lg[maxn];
int RMQ(int l,int r) {
if(l > r)swap(l , r);
int k = lg[r - l + 1];
if(f[l][k] < f[r - (1 << k) + 1][k])return pos[l][k];
return pos[r - (1 << k) + 1][k];
}
void init_RMQ() {
for(int i = 0;i <= n;++ i)f[i][0] = sum[i],pos[i][0] = i;
for(int i = 2;i <= n;++ i)lg[i] = lg[i >> 1] + 1;
ST();
for(int i = L;i <= n;++ i) {
int l = i - L,r = max(i - R , 0);
int t = RMQ(r , l);
q.push(Chtholly(i , r , l , t));
}
return ;
}
int main() {
scanf("%d%d%d%d",&n,&k,&L,&R);
for(int i = 1;i <= n;++ i)scanf("%lld",&a[i]),sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
init_RMQ();
ll ans = 0;
for(int i = 1;i <= k;++ i) {
Chtholly u = q.top();
q.pop();
int l = u.l,r = u.r,t = u.t,x = u.x;
ans += sum[x] - sum[t];
if(l < t)q.push(Chtholly(x , l , t - 1 , RMQ(l , t - 1)));
if(r > t)q.push(Chtholly(x , t + 1 , r , RMQ(t + 1 , r)));
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}
