概率论经典问题

1.分金币问题
A与B赌博，每人出32枚金币，总共64枚金币，通过不断掷骰子的方式，若先出现3次6点，则A赢得全部金币，若先出现3次4点，则B赢得全部金币，当赌局进行到一半时，已经出现了2次6点，1次4点，此时因为特殊原因赌局不得不中止，A与B如何分这64枚金币？

这是一道很简单的概率问题，考虑剩下出现的有效的点数，若先出现6点，则A胜利，概率为0.5；若先出现4点，再出现6点，则A胜利，概率为0.25；若先出现4点，再出现4点，则B胜利，概率为0.25。所以A赢的概率为\(\frac{3}{4}\)，故A应分得48枚金币，B应分得16枚金币

---

2.三门问题
这个问题来源于美国电视娱乐节目Let’s Make a Deal,问题的名字则来自该节目的主持人蒙提·霍尔(Monty Hall)。问题是这样的：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。明确的限制条件如下：参赛者会被问是否保持他的原来选择,还是转而选择剩下的那一道。那么换与不换，哪种策略答对的机率高呢？

答案是换。可以这样想：主持人知道门背后是羊还是车，他打开的是有羊的门，一开始参赛者有1/3的概率选中车，2/3的概率选中羊，如果第一步选中了车那么换了以后会得到羊，如果第一步选中了羊，那么换了以后一定得到车，所以换了以后得到车的概率是2/3

---

3.生日问题
如果有23个人，那么他们之中有两人生日相同的概率超过50%

这个问题并不是什么悖论，通过计算就可以得到结果,先计算没有两人生日相同的概率：
\(p=\frac{364}{365}\frac{363}{365}\frac{362}{365}...\frac{343}{365}\)
\(1-p\)即为结果

---

4.投硬币游戏

A与B玩投硬币游戏，当出现“正反反”时A胜利，当出现“反反正时”B胜利，这个游戏是否公平？谁的胜率大？

答案是A的胜率大，为3/4；B的胜率是1/4。

考虑若第一个硬币为正，那么后面若出现“反反”，A就赢了；若出现“正”，那么又回到了第一次硬币为正的情况
若投出“反反”，那么B就赢了，因为若后面出现“正”，B取得胜利，若出现“反”，那么又回到了“反反”的情况

---

5.蒲丰投针

设我们有一个以平行且等距，间距为\(d\)的木纹铺成的地板，随意抛一支长度为\(l\)，比木纹之间距离小的针，求针和其中一条木纹相交的概率。

考虑针落下以后，垂直于木纹方向上的长度分量，用积分求出它的期望：

$\frac{1}{π} \int_0^π lsinφdφ $

得到结果为\(\frac{l}{π}\)

再按照几何概型得到期望的相交概率为\(\frac{2l}{πd}\)