清北学堂（2019 5 2） part 5
今天讲图论，顺便搞一搞之前没弄完的前向星dij
1.图的基本概念（课件原话）：
G （图）= (V（点）; E（边）)
一般来说，图的存储难度主要在记录边的信息
无向图的存储中，只需要将一条无向边拆成两条即可
邻接矩阵：用一个二维数组 edg[N][N] 表示
edg[i][j] 就对应由 i 到 j 的边信息
edg[i][j] 可以记录 Bool，也可以记录边权
缺点：如果有重边有时候不好处理
空间复杂度 O(V2)
点度（出边入边条数）等额外信息也是很好维护的
模板（传说中的链式前向星/链式存图）：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=100; int n,m,s; struct Ed{ int next,dis,to; }ed[N]; int ed_num; int tail[N]; inline void add(int from,int to,int dis){ ed_num++; ed[ed_num].dis=dis; ed[ed_num].to=to; ed[ed_num].next=tail[from]; tail[from]=ed_num; } int main(){ scanf("%d%d%d",&n,&m,&s); for(int i=1;i<=m;i++){ int a,b,c; add(a,b,c); } //use it for(int i=tail[s];i;i=ed[i].next){ //bla bla bla... } printf("What ever it takes\n"); return 0; }
2.vector
用于灵活储存一定范围内（指不会爆栈）数据的变长数组
队列好像就是这么存的，然而这个东西很慢...
最小生成树：
3.kruskal（前置知识：并查集）：
将每条边排序，按从小到大加入生成树，并将两端点合并作同一并查集，
如果边的两端点再加入此边之前已属于同一集合，说明其已经连通，无需加入这一条边
如果当前边数已经为n-1，则跳出循环，已经找到目标
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int n,m; int fa[5005]; inline int father(int t){ if(fa[t]!=t) fa[t]=father(fa[t]); return fa[t]; } inline void u(int l,int r){ int fl=father(l); int fr=father(r); if(fl!=fr) fa[fl]=fr; } struct ed{ int len; int begin,end; }dis[200005]; inline bool cmp(ed a,ed b){ return a.len<b.len; } int sum; int num; int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i; for(int i=1;i<=m;i++){ int x,y,z; scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); dis[i].begin=x; dis[i].end=y; dis[i].len=z; }sort(dis+1,dis+1+m,cmp); for(int i=1;i<=m;i++){ if(father(dis[i].begin)!=father(dis[i].end)){ u(dis[i].begin,dis[i].end); sum+=dis[i].len; num++; } if(num==n-1){ cout<<sum<<endl; return 0; } } cout<<"orz"; return 0; }
4.kosaraju（偷一波baidu）
对原图G进行深度优先遍历，记录每个节点的离开时间num[i]
选择具有最晚离开时间的顶点，对反图GT（由G的反向边组成）进行遍历，删除能够遍历到的顶点
这些顶点构成一个强连通分量（好像是互相连通的意思）
如果还有顶点没有删除，继续步骤2，否则算法结束
5.prim
思想：一开始有n个连通块，从起点开始，每次找距离最短的连通块连到一起
代码：咕咕咕
总的来说，最小生成树还是用kruskal吧...
最短路问题（共四个,真正意义上是3个）：
给一个有向图，求s到e的最短距离（距离：两点之间边的边权和）
6.松弛操作——最短路算法的本质
dis[i][j]<=dis[i][k]+dis[k][j]
7.floyd（之前打的一直是错的）：
三层循环找上面式子的i（起点），j（终点），k（中间点）
代码（邻接矩阵）：
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=505; const int inf=1<<29; int d[N][N],n,m; int main(){ cin>>n>>m; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) d[i][j]=inf; for(int u,v,w,i=1;i<=m;i++) cin>>u>>v>>w,d[u][v]=min(d[u][v],w); for(int k=1;k<=n;k++) for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]); printf("并没有输出\n"); return 0; }
要点：
1.先要枚举k，不然就是错的
2.把最大边初始化为inf（infinite），即为极大（无穷），不然你min怎么取...（全是0）
3.主要思路是在k=t循环结束时，dis[i][j]只经过1,2...t，此时dis[i][j]为真实值
4.负权环（一个可以跑死SPFA的东西）：
Floyd跑完以后判断下有没有负边权就好，Floyd能处理，但SPFA会凉，
具体解决办法就是加一个计数变量，如果处理次数大于预期最大次数，就输出无解或关闭程序
单源最短路问题：
8.Bellman-Ford：
枚举每一条边（e（u，v，w））并松弛d（v）=min{d（v），d（u）+w}
松弛n次即可，可以加一个优化，
添加bool变量判断有没有进行松弛，没有就不用再进行该层循环了
9.SPFA：
把需要松弛的边用queue存储，等松弛时拿出操作，代码：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int inf=2147483647; bool vis[500010]; int dis[500010]; int tail[500010]; struct Ed{ int next,to,dis; }ed[500010]; int m,n,s; int num_edge; inline void join(int from,int to,int dis){ num_edge++; ed[num_edge].dis=dis; ed[num_edge].to=to; ed[num_edge].next=tail[from]; tail[from]=num_edge; } queue<int> q; int main(){ scanf("%d%d%d",&n,&m,&s); for(int i=1;i<=m;i++) dis[i]=inf; vis[s]=1; dis[s]=0; for(int i=1;i<=m;i++){ int x,y,z; scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); join(x,y,z); } q.push(s); while(!q.empty()){ int now=q.front(); q.pop(); vis[now]=0; for(int i=tail[now];i;i=ed[i].next){ int end=ed[i].to; if(dis[end]>dis[now]+ed[i].dis){ dis[end]=dis[now]+ed[i].dis; if(!vis[end]){ q.push(end); vis[end]=1; } } } } for(int i=1;i<=n;i++){ printf("%d ",dis[i]); } return 0; }
优化（上面提到过）：
记录每个点加入queue次数，如果大于n-1次，则这个点可能已经在负权环里面无限快乐了
SPFA跑稀疏图很快，跑网格图就非常慢了
10.dijkstra
前向星版本完成辣！
代码：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; const int inf=2147483647; struct Ed{ int to,dis,next; }ed[200005]; int tail[100005]; int ed_num; inline void add(int from,int to,int dis){ ed_num++; ed[ed_num].dis=dis; ed[ed_num].to=to; ed[ed_num].next=tail[from]; tail[from]=ed_num; } int dis[100005]; bool vis[100005]; int n,m,s; int main(){ scanf("%d%d%d",&n,&m,&s); for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=inf; dis[s]=0; vis[s]=1; for(int i=1;i<=m;i++){ int x,y,z; scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); add(x,y,z); } for(int i=tail[s];i;i=ed[i].next) dis[ed[i].to]=ed[i].dis; for(int i=1;i<=n;i++){ int now=inf; int k=0; for(int j=1;j<=n;j++) if((!vis[j])&&(now>dis[j])){ now=dis[j]; k=j; } if(k==0) break; vis[k]=1; for(int j=tail[k];j;j=ed[j].next) if(dis[ed[j].to]>dis[k]+ed[j].dis) dis[ed[j].to]=dis[k]+ed[j].dis; } for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",dis[i]); return 0; }
我开心地交了上去٩(๑>◡<๑)۶
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11.DAG有向无环图与拓扑排序
即找一个按顺序遍历所有节点的顺序，显然答案不唯一
思想类似于完成一些任务，而某些任务有其前置任务
思路：
先将所有入度为0的点入队，再依次广搜，把入队的点删除，将它到达的点入度-1
依次重复步骤，直到队列为空
老师代码（懒得自己敲了）：
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 1e5 + 5; const int inf = 1 << 29; struct edge{ int u, v; }; vector<edge> edg[N]; int n, m, outdeg[N], ans[N]; queue<int> Queue; void add(int u, int v) { edg[u].push_back((edge){u, v}); } int main() { cin >> n >> m; for (int u, v, i = 1; i <= m; i++) cin >> u >> v, add(v, u), outdeg[u]++; for (int i = 1; i <= n; i++)
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn = 1000005; struct edge { int u, v, w; }edg[maxn]; int n, m, p[maxn], Q, dep[maxn]; vector<edge> adj[maxn]; // edges in MST bool cmp(edge a, edge b) {return a.w < b.w;} int findp(int t) {return p[t] ? p[t] = findp(p[t]) : t;} bool merge(int u, int v) { u = findp(u); v = findp(v); if (u == v) return false; p[u] = v; return true; } int anc[maxn][20], maxw[maxn][20]; void dfs(int u) { for (int j = 1; j < 20; j++) anc[u][j] = anc[anc[u][j - 1]][j - 1], maxw[u][j] = max(maxw[u][j - 1], maxw[anc[u][j - 1]][j - 1]); for (unsigned i = 0; i < adj[u].size(); ++i) { int v = adj[u][i].v, w = adj[u][i].w; if (v != anc[u][0]) dep[v] = dep[u] + 1, anc[v][0] = u, maxw[v][0] = w, dfs(v); } } int solve(int u, int v) { int res = 0; if (dep[u] < dep[v]) swap(u, v); for (int d = dep[u] - dep[v], j = 0; d ; d >>= 1, ++j) if (d & 1) res = max(res, maxw[u][j]), u = anc[u][j]; //adjust u & v to the same depth if (u == v) return res; //u & v meet now for (int j = 19; j >= 0; j--) if (anc[u][j] != anc[v][j]) // if anc[u][j] & anc[v][j] dont meet together, then jump u & v res = max(res, maxw[u][j]), res = max(res, maxw[v][j]), u = anc[u][j], v = anc[v][j]; //now u & v 's lca must be their parent now, in an easy word, it's anc[u][0] or anc[v][0] res = max(res, maxw[u][0]); res = max(res, maxw[v][0]); u = anc[u][0]; v = anc[v][0]; return res; } int main() { cin >> n >> m >> Q; for (int i = 1, u, v, w; i <= m; i++) cin >> u >> v >> w, edg[i] = (edge){u, v, w}; sort(edg + 1, edg + m + 1, cmp); for (int i = 1, u, v; i <= m; i++) if (merge(u = edg[i].u, v = edg[i].v)) adj[u].push_back(edg[i]), adj[v].push_back((edge){v, u, edg[i].w}); dfs(1); for (int u, v, i = 1; i <= Q; i++) cin >> u >> v, cout << solve(u, v) << endl; }
if (outdeg[i] == 0) Queue.push(i); for (int i = 1; i <= n; i++) { if (Queue.empty()) {printf("Not DAG"); return 0;} int u = Queue.front(); Queue.pop(); ans[n - i + 1] = u; for (int e = 0; e < edg[u].size(); e++) { int v = edg[u][e].v; if (--outdeg[v] == 0) Queue.push(v); } } }
11.lca（最近公共祖先）
思路，先将二者跳到同一深度，再将x和y以尽量远的高度向上跳，直到父节点唯一
代码：
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn = 1000005; struct edge { int u, v, w; }edg[maxn]; int n, m, p[maxn], Q, dep[maxn]; vector<edge> adj[maxn]; // edges in MST bool cmp(edge a, edge b) {return a.w < b.w;} int findp(int t) {return p[t] ? p[t] = findp(p[t]) : t;} bool merge(int u, int v) { u = findp(u); v = findp(v); if (u == v) return false; p[u] = v; return true; } int anc[maxn][20], maxw[maxn][20]; void dfs(int u) { for (int j = 1; j < 20; j++) anc[u][j] = anc[anc[u][j - 1]][j - 1], maxw[u][j] = max(maxw[u][j - 1], maxw[anc[u][j - 1]][j - 1]); for (unsigned i = 0; i < adj[u].size(); ++i) { int v = adj[u][i].v, w = adj[u][i].w; if (v != anc[u][0]) dep[v] = dep[u] + 1, anc[v][0] = u, maxw[v][0] = w, dfs(v); } } int solve(int u, int v) { int res = 0; if (dep[u] < dep[v]) swap(u, v); for (int d = dep[u] - dep[v], j = 0; d ; d >>= 1, ++j) if (d & 1) res = max(res, maxw[u][j]), u = anc[u][j]; //adjust u & v to the same depth if (u == v) return res; //u & v meet now for (int j = 19; j >= 0; j--) if (anc[u][j] != anc[v][j]) // if anc[u][j] & anc[v][j] dont meet together, then jump u & v res = max(res, maxw[u][j]), res = max(res, maxw[v][j]), u = anc[u][j], v = anc[v][j]; //now u & v 's lca must be their parent now, in an easy word, it's anc[u][0] or anc[v][0] res = max(res, maxw[u][0]); res = max(res, maxw[v][0]); u = anc[u][0]; v = anc[v][0]; return res; } int main() { cin >> n >> m >> Q; for (int i = 1, u, v, w; i <= m; i++) cin >> u >> v >> w, edg[i] = (edge){u, v, w}; sort(edg + 1, edg + m + 1, cmp); for (int i = 1, u, v; i <= m; i++) if (merge(u = edg[i].u, v = edg[i].v)) adj[u].push_back(edg[i]), adj[v].push_back((edge){v, u, edg[i].w}); dfs(1); for (int u, v, i = 1; i <= Q; i++) cin >> u >> v, cout << solve(u, v) << endl; }
