2024/5/26
所学时间：2小时
代码行数：500
博客园数：1篇
所学知识：
实验三：Newton法程序设计
一、实验目的
掌握Hesse矩阵的计算方法和Newton法的基本思想及其迭代步骤；学会运用MATLAB编程实现常用优化算法；能够正确处理实验数据和分析实验结果及调试程序。
二、实验内容
1）求解无约束优化问题：；
（2）终止准则取；
（3）完成Newton法（牛顿法）的MATLAB编程、调试；
（4）选取几个与实验二中相同的初始点，并给出相关实验结果的对比及分析（从最优解、最优值、收敛速度（迭代次数）等方面进行比较）；
三、算法步骤、代码、及结果
1. 算法步骤
2. 代码
function newtons_method()
% 初始猜测
x = [1; 1; 1; 1];
% 设定迭代停止条件
epsilon = 1e-6;
% 迭代
iter = 0;
while true
% 计算梯度和海森矩阵
grad = [2*(x(1)+10*x(2))+40*(x(1)-x(4))^3; 20*(x(1)+10*x(2))+4*(x(2)-2*x(3))^3; 10*(x(3)-x(4))-8*(x(2)-2*x(3))^3; -10*(x(3)-x(4))-40*(x(1)-x(4))^3];
hessian = [2+120*(x(1)-x(4))^2, 20, 0, -120*(x(1)-x(4))^2; 20, 200+12*(x(2)-2*x(3))^2, -24*(x(2)-2*x(3))^2, 0; 0, -24*(x(2)-2*x(3))^2, 10+48*(x(2)-2*x(3))^2, -10; -120*(x(1)-x(4))^2, 0, -10, 10+120*(x(1)-x(4))^2];
% 计算步长
step = hessian\grad;
% 更新解
x = x - step;
% 计算目标函数值
f_val = (x(1)+10*x(2))^2+5*(x(3)-x(4))^2+(x(2)-2*x(3))^4+10*(x(1)-x(4))^4;
% 输出迭代信息
disp(['迭代次数： ', num2str(iter), ': x = ', num2str(x'), ', f(x) = ', num2str(f_val)]);
% 判断是否满足停止条件
if norm(step) < epsilon
disp(['最优解 x = ', num2str(x'), ', 最优值f(x) = ', num2str(f_val)]);
break;
end
iter = iter + 1;
end
disp(['共迭代:',num2str(iter),'次']);
end
3. 结果
迭代次数： 0: x = -1.5365 0.15365 0.41016 0.41016, f(x) = 143.7923
迭代次数： 1: x = -1.0243 0.10243 0.27344 0.27344, f(x) = 28.4034
迭代次数： 2: x = -0.68288 0.068288 0.18229 0.18229, f(x) = 5.6106
迭代次数： 3: x = -0.45525 0.045525 0.12153 0.12153, f(x) = 1.1083
迭代次数： 4: x = -0.3035 0.03035 0.081019 0.081019, f(x) = 0.21891
迭代次数： 5: x = -0.20233 0.020233 0.054012 0.054012, f(x) = 0.043242
迭代次数： 6: x = -0.13489 0.013489 0.036008 0.036008, f(x) = 0.0085417
迭代次数： 7: x = -0.089926 0.0089926 0.024006 0.024006, f(x) = 0.0016873
迭代次数： 8: x = -0.059951 0.0059951 0.016004 0.016004, f(x) = 0.00033328
迭代次数： 9: x = -0.039967 0.0039967 0.010669 0.010669, f(x) = 6.5834e-05
迭代次数： 10: x = -0.026645 0.0026645 0.0071128 0.0071128, f(x) = 1.3004e-05
迭代次数： 11: x = -0.017763 0.0017763 0.0047418 0.0047418, f(x) = 2.5687e-06
迭代次数： 12: x = -0.011842 0.0011842 0.0031612 0.0031612, f(x) = 5.0741e-07
迭代次数： 13: x = -0.0078948 0.00078948 0.0021075 0.0021075, f(x) = 1.0023e-07
迭代次数： 14: x = -0.0052632 0.00052632 0.001405 0.001405, f(x) = 1.9798e-08
迭代次数： 15: x = -0.0035088 0.00035088 0.00093666 0.00093666, f(x) = 3.9108e-09
迭代次数： 16: x = -0.0023392 0.00023392 0.00062444 0.00062444, f(x) = 7.7249e-10
迭代次数： 17: x = -0.0015595 0.00015595 0.00041629 0.00041629, f(x) = 1.5259e-10
迭代次数： 18: x = -0.0010396 0.00010396 0.00027753 0.00027753, f(x) = 3.0142e-11
迭代次数： 19: x = -0.00069309 6.9309e-05 0.00018502 0.00018502, f(x) = 5.9539e-12
迭代次数： 20: x = -0.00046206 4.6206e-05 0.00012335 0.00012335, f(x) = 1.1761e-12
迭代次数： 21: x = -0.00030804 3.0804e-05 8.2231e-05 8.2231e-05, f(x) = 2.3231e-13
迭代次数： 22: x = -0.00020536 2.0536e-05 5.482e-05 5.482e-05, f(x) = 4.5889e-14
迭代次数： 23: x = -0.00013691 1.3691e-05 3.6547e-05 3.6547e-05, f(x) = 9.0644e-15
迭代次数： 24: x = -9.1272e-05 9.1272e-06 2.4365e-05 2.4365e-05, f(x) = 1.7905e-15
迭代次数： 25: x = -6.0848e-05 6.0848e-06 1.6243e-05 1.6243e-05, f(x) = 3.5368e-16
迭代次数： 26: x = -4.0565e-05 4.0565e-06 1.0829e-05 1.0829e-05, f(x) = 6.9863e-17
迭代次数： 27: x = -2.7043e-05 2.7043e-06 7.2192e-06 7.2192e-06, f(x) = 1.38e-17
迭代次数： 28: x = -1.8029e-05 1.8029e-06 4.8128e-06 4.8128e-06, f(x) = 2.7259e-18
迭代次数： 29: x = -1.2019e-05 1.2019e-06 3.2085e-06 3.2085e-06, f(x) = 5.3846e-19
迭代次数： 30: x = -8.0129e-06 8.0129e-07 2.139e-06 2.139e-06, f(x) = 1.0636e-19
迭代次数： 31: x = -5.3419e-06 5.3419e-07 1.426e-06 1.426e-06, f(x) = 2.101e-20
迭代次数： 32: x = -3.5613e-06 3.5613e-07 9.5068e-07 9.5068e-07, f(x) = 4.1501e-21
迭代次数： 33: x = -2.3742e-06 2.3742e-07 6.3379e-07 6.3379e-07, f(x) = 8.1977e-22
迭代次数： 34: x = -1.5828e-06 1.5828e-07 4.2254e-07 4.2254e-07, f(x) = 1.6193e-22
最优解 x = -1.5828e-06 1.5828e-07 4.2254e-07 4.2254e-07, 最优值f(x) = 1.6193e-22
共迭代:34次
四、心得体会
在实验中，我通过MATLAB编程实现了常用的优化算法，并通过调试程序验证了算法的正确性。在处理实验数据和分析实验结果时，我深入思考了不同算法对于不同问题的适用性，并通过对比实验结果找到了最优的优化算法。通过这次实验，我不仅提高了编程能力，也加深了对优化算法的理解和应用。总的来说，这次实验给我带来了很大收获，让我更加了解了优化算法的原理和实现方法，提高了对算法效率和精度的要求。
