【区间DP】低价回文

【区间DP】低价回文

标签（空格分隔）： 区间DP 回文词

---

【题目描述】

追踪每头奶牛的去向是一件棘手的任务，为此农夫约翰安装了一套自动系统。他在每头牛身上安装了一个电子身份标签，当奶牛通过扫描器的时候，系统可以读取奶牛的身份信息。目前，每个身份都是由一个字符串组成的，长度为M (1≤M≤2000)，所有的字符都取自小写的罗马字母。

奶牛们都是顽皮的动物，有时她们会在通过扫描器的时候倒着走，这样一个原来身份为abcb的奶牛就可能有两个不同的身份了（abcb和bcba），而如果身份是abcba的话就不会有这个问题了。

约翰想改变奶牛们的身份，使他们不管怎么走读起来都一样。比如说，abcb可以在最后加个a，变成回文abcba；也可以在前面加上bcb，变成回文bcbabcb；或者去除字母a，保留的bcb也是一条回文。总之，约翰可以在任意位置删除或插入一些字符使原字符串变成回文。

不巧的是，身份标签是电子做的，每增加或删除一个字母都要付出相应的费用（0≤代价≤10000）。给定一头奶牛的身份标签和增加或删除相关字母的费用，找出把原来字符串变成回文的最小费用。注意空字符串也是回文。

输入格式
第一行：两个用空格分开的整数：N和M 第二行：一个长度恰好为M的字符串，代表初始的身份标签 第三行到第N+2行：每行为一个用空格分开的三元组：其中包括一个字符和两个整数，分别表示增加或删除这个字符的费用

输出格式
第一行：只有一个整数，表示改造这个身份标签的最小费用

样例
样例输入
3 4
abcb
a 1000 1100
b 350 700
c 200 800

样例输出
900

数据范围与提示
如果在最后插入一个a，得到abcba，代价为1000；如果删除第一个a，得到bcb，代价为1100；如果在字符串的开头插入bcb，代价为350+200+350=900，这才是最优的做法

【思路】

这道题很恶心，不愧是学校题库的最后一题。线型DP和区间DP都是以回文词结尾，但是这两道思路完全不同，难度可想而知。
对于一块新区间，要想保证区间中的元素是回文词，那就必须保证首元素和尾元素相同。如果相同，那么f[i][j]就能直接从f[i-1][j-1]转移过来，而且不用代价。如果不同，我们可以只处理首元素和尾元素中的一个。处理首元素，我们可以从f[i+1][j]转移过来，然后要么删除首元素，要么在尾端插入一个首元素。处理尾元素，我们可以从f[i][j-1]转移过来，同前。

【代码】

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=2e5+5,INF=0x3f3f3f3f,maxe=2e3+5;
int n,m,f[maxe][maxe],low[maxn],ans,del[maxn],add[maxn];
inline int read(){
   int s=0,w=1;
   char ch=getchar();
   while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
   while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
   return s*w;
}
int main(){
	m=read(),n=read();
	char a[maxn];
	cin>>a+1;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		char x;
		cin>>x;
		cin>>add[x]>>del[x];
	}//还是我没用快读时写的
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	for(int i=0;i<=n+1;i++)f[i][i]=0;//初始化
	for(int d=2;d<=n;d++){
		for(int i=1,j;(j=i+d-1)<=n;i++){
			if(a[i]==a[j]){//相等
				if(i==j-1)f[i][j]=0;//亲测必须加
				f[i][j]=min(f[i][j],f[i+1][j-1]);
			}
			else f[i][j]=min(f[i+1][j]+min(del[a[i]],add[a[i]]),f[i][j-1]+min(del[a[j]],add[a[j]]));//不相等，要么在对a[i]删除或插入，要么对a[j]删除或插入
		}
	}
	cout<<f[1][n];
	return 0;
}

---

嘤嘤嘤 嘤嘤嘤 嘤嘤嘤嘤嘤