【数量关系】第十六节：排列问题
基本排列组合问题
一、两个原理
①加法原理：分类则相加，每一类中的每一种方法都可以达到目的。
②乘法原理：分步则相乘，必须完成每一步才能达到目的。
二、排列组合
排列：有序排列
组合：无序组合
三、计算公式
A44= 4×3×2×1
C304 = 30×29×28×27 ÷ (4×3×2×1) = C3026
例题：
S01：将5个不同颜色的锦囊放入4个不同的锦盒里，如果允许锦盒是空的，则所有可能的放置方法有：
A.
种 B.
种 C.
种 D.
种
S02：某部门开展年终评选工作，需从11名员工中评选出一名优秀员工和两名积极员工，且优秀员工与积极员工不能为同一人，则可能会出现的评选结果共有（）种。
A . 495 B . 990 C . 1210 D . 1980
思路：
C(1,11)×C(2,10)，先选一个优秀，再选2个积极。
或者先选出来3个人，再从3选一个优秀。C(3,11)×C(1,3)
L01：某单位组织职工参加周末培训，其中英语培训和财务培训均在周六，公文写作培训和法律培训均在周日。同一天举办的两场培训每人只能报名参加一场，但不在同一天的培训可以都参加。则职工小刘有多少种不同的报名方式（ ） 单项选择题
A. 4 B. 8 C. 9 D. 16
思路：
一门：4种，二门：C(1,2)*C(1,2)
L02：某交警大队的16名民警中，男性为10人，现要选4人进行夜间巡逻工作，要求男性民警不得少于2名，问有多少种选人方法？
A.1605 B.1520 C.1071 D.930
思路：
C(2,10)*C(2,14)，错误思想，包含了先选12再选34和先选34再选12重复计算了。
先用分类的思想。[2男2女+3男1女+4男] C(2,10)*C(2,6)+C(3,10)*C(1,6)+C(4,10)
最好记住：C(3,10) = 120 ， C(4,10) = 210
L03：某班共有8名战士，现在从中挑出4人平均分成两个战斗小组分别参加射击和格斗考核，问共有多少种不同的方案？
A.210 B.420 C.630 D.840
思路：
第一步先选2个人去射击，再选2个去格斗
C(2,8)*C(2,6) = C(4,8)*C(2,4)*C(2,2)
补充：
高级排列组合问题：
一、分组问题：（10个人住5个房是分组问题，5个人住10个房是普通排列问题）
①元素不同（人不同，组不同）：一定不要×A(n,n)
②元素不同（组相同）：比组不同要少！考法：平均分组，一定要÷A(n,n)
③元素相同（组不同）：插板法解题。必须转换为至少1个！
二、错位排序
三、捆绑法和插空法（捆绑法解决相邻问题，插空法解决不邻问题）
①插空法：首先将互不相邻的元素取出，作为插空对象备用，将其他元素排列好，将插空对象插入到适当的空中(如两端的空不能插入)。
L04：某部门从8名员工中选派4人参加培训，其中2人参加计算机培训，1人参加英语培训，1人参加财务培训，问不同的选法有多少种？
A . 256 B . 840 C . 1680 D . 5040
思路：(元素不同，组不同)
C(2,8)×C(1,6)×C(1,5) = C(4,8)×C(2,4)×C(1,2)×C(1,1)
L05：6本不同的书，平均分成3组，有多少种分法（）？
A.15 B.20 C.90 D.120
思路：（元素不同，组相同）
C(2,6)×C(2,4)×C(2,2) ÷ A(3,3) = 15
L06：把七支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙三人,每人至少一支,问有多少种方法？
思路：
7支铅笔有8个空。前后空不能插，相当于6个空选2个空插入板子。C(2,6) = 15
设铅笔为M，组为N，每人至少1个。得：C(N-1,M-1)
L07：把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分4个，可以有多少种不同的分法？
思路：
20-3*3 = 11 ， 分法为：C(2,10)
假设：把20个苹果分给3个小朋友，相当于每人至少分0个，先每人分-1个，得20-(-1)*3 = 23，得C(2,22)
L08：某单位从下属的5个科室各抽调一名工作人员，到其他科室交流，如每个科室只能接收一个人的话，有多少种不同的人员安排方式?
A.120 B.78 C.44 D.24
思路：（错位排序）
0,1,2,9,44,265
L09： 两对夫妇各带一个小孩乘坐有6个座位的游览车，游览车每排只有1个座位。为安全起见，车的首尾两座一定要坐两位爸爸；两个小孩一定要排在一起。那么，这6人的排座方法有
A、12种 B、24种 C、36种 D、48种
思路：
先排前后的爸爸位置A(2,2)，再把孩子看成一个元素，剩A(3,3)排列，两小孩内部再排序一次A(2,2)
A(2,2)×A(3,3)×A(2,2)
L10：小区内空着一排相邻的8个车位，现有4辆车随机停进车位，恰好没有连续空位的停车方式共有多少种？
A.48 B.120 C.360 D.1440
思路：
空车位互不相邻！
先排好车辆位置A(4,4)，再把4个空车位放到形成的5个空里面。C(4,5)
G01：如图所示，五个圆相连，现在用三种不同颜色分别给每个圆涂色，要求相连接的两个圆不能涂同种颜色，则共有多少种不同的涂色方法？
A.36 B.72 C.112 D.144
思路：
分类，R、P同色：3种，Q两种，S两种，T也是两种
R、P不同色：R3种、P两种，Q1种，S1种，T还是两种。
G02：已知有6个大小相同，标号分别为1～6的正方形。若旋转后正方形编号相同算同一种拼法，那么要将这些木块拼成一个大长方形，有多少种不同的拼法？
A.360 B.540 C.720 D.900
思路：
1 2 3
4 5 6 排列：A(6,6)÷2， 1 2 3 4 5 6 排列：A(6,6)÷2
需要÷2 是因为同时包含了 6 5 4
3 2 1
母题研究
1、甲、乙、丙三所学校的学生被安排在周一至周五参观某革命纪念馆。纪念馆每天最多只能安排一所学校，其中甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么共有多少种安排方法？
A.12 B.24 C.36 D.60
思路：
捆绑法，捆绑后剩余4天，甲可选4天，乙可选3天，丙可选2天。A(3,4)
2、在7×7的队列中，先随机给一个队员戴上红绶带，再给另一个队员戴上蓝绶带，要求戴两种颜色绶带的这两位队员不在同一行也不在同一列。问有多少种戴法？
A、1048 B、1374 C、1764 D、1858
思路：
49×36 = 50×36-36 = 1764
3、6辆汽车排成一列纵队，要求甲车和乙车均不在队头或队尾，且正好间隔两辆车。问共有多少种不同的排法？
A.48 B.72 C.90 D.120
思路：
先考虑特殊A(2,2)，再拍剩下的排好A(4,4)
4、正值毕业季，306宿舍有A、B、C、D四位男同学，他们准备找班主任宋老师合影，若要求宋老师坐正中间，A.、B.两位同学不能挨着坐，那么总共有多少种坐法？（）
A.8种 B.12种 C.16种 D.24种
思路：
A同学4种坐法，B同学2种，C和D为A(2,2)
5、某单位欲将甲、乙、丙、丁4名大学生分配到3个不同的岗位实习，若每个岗位至少分到1名大学生，且甲、乙两人被分在不同岗位，则不同的分配方法共有：
A.30种 B.36种 C.60种 D.72种
思路：
先选2个人绑在一起，C(2,4)，再分配岗位A(3,3)，此时没有考虑特殊性。正确答案会比36小。
捆绑甲乙，得A(3,3)，减去后得30种。
6、一张节目表上原有3个节目,如果保持这3个节目的相对顺序不变,再添进去2个新节目,有多少种安排方法( )
A. 20 B. 12 C. 6 D. 4
思路：
方法一：3个节目固定现有4个空，D节目有4种放法，放入后形成了5个空，所以E节目有5种放法。
方法二：分类：先一个空放一个节目：A(2,4)，然后是一个空放两类节目：4种放法内部再排列×A(2,2)
7、一条街上共10盏路灯，为节电熄灭其中互不相邻的4盏，但两端路灯不被熄灭。熄灭的方法共?
思路：
插空法，先把互不相邻的灯分离备用，排列剩下的6盏灯，形成7个空，但是首位不能插入，所以剩5个空，再把分离的灯插入其中。C(4,5)=C(1,5)=5
8、四对情侣排成一队买演唱会门票，已知每对情侣必须排在一起，问共有多少种不同的排队顺序？
A.24种 B.96种 C.384种 D.40320种
思路：
捆绑再排序，A(4,4)，再每队情侣内部排序×2×2×2×2
9、相邻的4个车位中停放了4辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4个车位，要求所有车都不得停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？
A.9 B.12 C.14 D.16
思路：
错位排序
10、某宾馆有6个空房间，3间在一楼，3间在二楼。现有4名客人要入住，每人都住单间，都优先选择一楼房间。问宾馆共有多少种安排？
A.24 B.36 C.48 D.72
思路：
4个人先选3个住一楼，A(3,4)，剩下一人住2楼共有3种方法×3 = 72.
