【数量关系】第十节：行程问题

行程问题的四种类型

　　①S=V×T

　　②平均速度

　　　　平均速度公式：　　（等距离平均速度公式）

　　　　平均速度的理解：总路程÷总时间

　　　　看到等距离的问题，第一时间想到用平均速度公式求解。

　　③相对速度

　　　　相对速度公式：

　　　　　　加法：相遇问题，顺水问题，顺电梯问题

　　　　　　减法：追及问题，逆水问题，

在追及问题中，V相对，是单位时间内，甲比乙多跑的路程。S相对是甲比乙共多跑的路程。

在相遇问题中，V相对，是单位时间内，甲、乙共同跑的路程，S相对，是甲、乙共跑的路程。

 

　　④漂流问题（A->B：路程S，设V船，V水，T1(顺)，T2(逆)）

　　　　漂流问题公式：漂流时间（水由A到B走得时间）：

 　　　　船在静水中的航行时间：

 　　　　

 

例题

S01：小林在距家1.5公里的工厂上班。一天，小林出发10分钟后，父亲老林发现小林的手机没带，立即追出去，并在距离工厂500米的地方追上了他。如果老林追赶的速度比小林快6公里/小时，那么，下列关于小林速度x，求值所列方程正确的是：

　　　　1/x - 1/(x+6) = 1/6

思路：

　　单位统一，速度6km/h，时间差是1/6h，不能是10分钟。

 

S02：一个圆形的人工湖，直径为50公里，某游船从码头甲出发，匀速直线行驶30公里到码头乙停留36分钟，然后到与码头甲直线距离为50公里的码头丙，共用时2小时。问该游船从码头甲直线行驶到码头丙需用多少时间？(　　) 　　　　　　　

　　　　A、50分钟 　　B、1小时 　　C、1小时20分 　　D、1小时30分

补充：

　　任意以圆的直径为边的内截三角形都是直角三角形。

　　常考的三角形：勾三股四弦五(3,4,5)。或者5,12,13。

思路：

　　比例思维：70km：84分钟 = 50km：？分钟。（1.2倍关系）

 

L01：已知A、B两地相距600千米。甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，3小时相遇。若甲的速度是乙的1.5倍，则甲的速度是：

　　　　A.60千米/小时　　B.90千米/小时　　C.100千米/小时　　D.120千米/小时

思路：

　　普通列式子解方程。

　　15V*3+V*3=600，得V=80

 

L02：甲去北京出差，去时坐飞机，返回时坐高铁。若飞机的速度比高铁快3倍，且往返平均速度为480千米/小时，问甲乘坐的飞机速度为多少千米/小时?

　　　　A. 720千米/小时 　　B. 768千米/小时 　　C. 960千米/小时 　　D. 1200千米/小时

思路：

　　快3倍就是我是你的4倍，后续套公式

 

L03：从甲地到乙地111千米，其中有1/4是平路，1/2是上坡路，1/4是下坡路。假定一辆车在平路的速度是20千米/小时，上坡的速度是15千米/小时，下坡的速度是30千米/小时。则该车由甲地到乙地往返一趟的平均速度是多少？ 单项选择题

　　　　A. 19千米/小时 　　B. 20千米/小时 　　C. 21千米/小时 　　D. 22千米/小时

思路：

　　平路的平均速度是20，上下坡的平均速度也是20。（设计好的题目）。与上下坡平路的路程占比无关。

 

L04：某宣讲团甲宣传员骑摩托车从红星村出发以20公里/小时的速度去相距60公里的八一村，1小时后由于路面湿滑，速度减少一半，在甲出发1小时后，乙宣传员以50公里/小时的速度开车从红星村出发追甲，当乙追上甲时，他们与八一村的距离为：

　　　　A.25公里　　B.40公里　　C.35公里　　D.30公里

思路：

　　在追上的那一刻，乙需要比甲多跑20公里。S相对=20km。        

 

L05：“梦想号”和“启航号”两列火车在两条平行轨道上匀速相向而行，“梦想号”的车长为270米，“启航号”的车长为360米。若“梦想号”的乘客从车窗看见“启航号”驶过的时间是8秒，则“启航号”的乘客从车窗看见“梦想号”驶过的时间是（    ）秒。

　　　　A.10　　 B.8　　 C.6　　 D.4

思路：

　　假设梦想号静止。

　　360米：8s = 270米：？s。（速度和相同，用比例思维）

 

L06：寒假第一天骑行社团从学校出发去滑雪，他们以20公里/小时的速度骑行2个小时到达滑雪场。游玩四小时后按原路以原速返回。骑行社团离开学校5.5小时后，辅导员派大客车以40公里/小时的速度沿相同路线迎接骑行社团。则大客车出发后与骑行社团相遇需要的时长是？（）

　　A.30分钟　　B.60分钟　　C.50分钟　　D.40分钟

 

L07：有A、B两家工厂分别建在河流的上游和下游，甲、乙两船分别从A、B港口出发前往两地中间的C港口。C港与A厂的距离比其与B厂的距离远10千米。乙船出发后经过4小时到达C港，甲船在乙船出发后1小时出发，正好与乙船同时到达。已知两船在静水中的速度都是32千米/小时，问河水流速是多少千米/时?

　　　　A.4　　 B.5　　 C.6　　 D.7

思路：

　　(32+V水)*3 - (32-V水)*4 =  10，得V水=6

　　

L08：一艘游轮逆流而行，从A地到B地需6天；顺流而行，从B地到A地需4天。问若不考虑其他因素，一块塑料漂浮物从B地漂流到A地需要多少天？

　　　　A.12　　B.16　　C.18　　D.24

 

G01：小张从甲地出发匀速前往乙地，同时小李和小王从乙地出发匀速前往甲地，小张和小李在途中的丙地相遇，小张和小王在途中的丁相遇，已知小张的速度比小李快一半，小王的速度比小李慢一半，则丙丁两地之间的距离与甲乙之间的距离之比为：

　　　　A. 2∶15　　 B. 1∶4　　 C. 3∶20　　 D. 1∶15

思路：

　　先设张，李，王，速度为3,2,1。相遇时速度比3:2，那么路程比也是3:2。相当于相遇时跑了全程的3/5。

　　3/4 - 3/5 = 3/20

 

T01： 甲和乙在长400米的环形跑道上匀速跑步，如两人同时从同一点出发相向而行，则第一次相遇的位置距离出发点有150米的路程；如两人同时从同一点出发同向而行，问跑得快的人第一次追上另一人时跑了多少米？　　　　

　　　　A.600　　B.800　　C.1000　　D.1200

思路：

　　环形跑道，追及问题，追上时，快的人比慢的人多跑一圈。

　　速度比恒定不变，路程比也不变。

　　任意时间下 S甲：S乙=250:150，相差100米，追及时相差400米，所以=1000:600

 

T02：环形跑道的周长为400米，甲乙两人骑车同时从同一地点出发，匀速相向而行，16秒后甲乙相遇。相遇后，乙立即调头，6分40秒后甲第一次追上乙，问甲追上乙的地点距原来的起点多少米?

　　　　A.8　　B.20　　C.180　　D.192

思路：

　　V甲+V乙=400÷16=25

　　V甲-V乙=400÷400=1

　　V甲=13，V乙=12。S甲=(13*16+13*400)÷400=13...208，400-208=192

 

T03：甲、乙两人同时从A、B两地相向而行,他们第一次相遇的地点距离B地12公里,此后两人继续前行,分别到达B、A两地后立即返回,在距离B地区4公里的地方再次相遇.请问A、B两地之间相距多远?

　　　　A.20千米　　B.24千米　　C.30千米　　D.32千米

 

T04：两艘渡轮在同一时刻垂直驶离H河的甲、乙两岸相向而行，一艘从甲岸驶向乙岸，另一艘从乙岸开往甲岸，它们在距离较近的甲岸720米处相遇。到达预定地点后，每艘船都要停留10分钟，以便让乘客上船下船，然后返航。这两艘船在距离乙岸400米处又重新相遇。问：该河的宽度是多少?_____

 

补充：

①两次相遇中，单边行问题。

第一次相遇时，双方共走了1S。假设为1T时间，此时乙走到了S1。

第二次相遇时走了3S，∴一共走了3T时间，乙走了3S1。

第三次相遇时走了5S，....

公式：S = (3S1+S2)÷2

②两次相遇中，双边行问题。

第一次相遇时，双方共走了1S。假设为1T时间，此时甲走了S1。

第二次相遇时走了3S，∴一共走了3T时间，甲走了 S+S2=3S1，=》S=3S1-S2

第三次相遇时走了5S，....

公式：S = 3S1-S2

第n次相遇走了：(2n-1)S

 

T05：甲、乙两地相距210公里，a，b两辆汽车分别从甲、乙两地同时相向出发并连续往返于两地。从甲地出发的a汽车的速度为90公里/小时，从乙地出发的b汽车的速度为120公里/小时。问第2次从甲地出发后与b汽车相遇时，b汽车共行驶了多少公里？

　　　　A.560公里　　B.600公里　　C.620公里　　D.650公里

思路：

　　一共走了3次，5S=5*210=1050，知道速度比求路程比，得b=600km

 

T06：丙地为甲、乙两地之间高速公路上的一个测速点，其与甲地之间的距离是与乙地之间距离的一半。A、B两车分别从甲地和乙地同时出发匀速相向而行，第一次迎面相遇的位置距离丙地500米。两车到达对方出发地后立刻原路返回，第二次两车相遇也为迎面相遇，问第二次相遇的位置一定

　　　　A.距离甲地1500米　　B.距离乙地1500米　　C.距离丙地1500米　　D.距离乙、两中点1500米

思路：

　　第一次相遇时A车：1/3S+500

　　第二次相遇时A车：3(1/3S+500) = S+1500

 

 

母题研究

1、甲和乙在长400米的环形跑道上匀速跑步，如两人同时从同一点出发相向而行，则第一次相遇的位置距离出发点有150米的路程;如两人同时从同一点出发同向而行，问跑得快的人第一次追上另一人时跑了多少米( )

　　　　A．600　　B．800　　C．1000　　D．1200

思路：

　　比例思维。S甲：S乙=250：150 (相差100米) = 1000：600 (相差400米时)

 

2、已知一形状为正六边形的跑道，边长为150米，甲、乙两人分别从两个相对的顶点同时出发，沿跑道相向匀速前进。两人第一次相遇时乙比甲多跑了50米，则甲、乙两人跑步的速度之比是：

　　　　A.3∶5　　B.4∶5　　C.5∶3　　D.5∶4

思路：

　　路程比与速度比

 

3、小张和小王18:00分别从甲、乙两地同时出发，沿相同道路匀速相向而行。18:20小张到达丙地停留，18:40两人在丙地碰面并均以出发时速度继续行进。18:50小王到达甲地，问小张在几点到达乙地?

　　　　A.20:00　　B.20:40　　C.19:00　　D.19:40

 

 

 

5、从A地到B地为上坡路。自行车选手从A地出发按A-B-A-B的路线行进，全程平均速度为从B地出发按B-A-B-A的路线行进的全程平均速度的。如自行车选手在上坡路与下坡路上分别以固定速度匀速骑行，问他上坡的速度是下坡速度的？

　　　　A.　　B.　　C.　　D.

思路：

　　速度不能叠加，但是时间可以叠加。此题路程相同，可知速度与时间成反比。

　　(2T上+T下) ÷ (T上+2T下) = 5/4 ，得T上/T下 = 2/1，∴V上/V下 = 1/2

 

6、小王和小张分别于早上8：00和8：30从甲地出发，匀速骑摩托车前往乙地。10：00小王到达两地的中点丙地，此时小张距丙地尚有5千米。11：00时小张追上小王。则甲、乙两地相距多少千米？

　　　　A . 50 　　B . 75 　　C . 90 　　D . 100

思路：

　　给出路程差就要求出路程比，此题路程比由速度比求出，速度比由时间比求出。

　　走相同距离时，T王：T张=6:5，V王：V张=5:6，

 

7、某儿童娱乐场有两条圆形赛车跑道，大圆跑道直径80米，小圆跑道直径60米，两跑道于发车起点A处相切重合。假设甲、乙两辆车同时从A点以相同速度出发（甲跑大圈、乙跑小圈），且此后速度均保持不变。则第一次相距最远时，甲、乙各跑了（    ）圈。

       

　　　　A.2，3　　B.，2　　C.3，2　　D.，2

思路：

　　周长=2πr，相当于周长为80、60，不管怎么跑，他们的路程都是相同的，因为等速度，等时间。带入求解只有B跑得路程相等。