【数量关系】第三节：不定方程问题
两类题型：（当方程个数小于未知数个数时，称为不定方程问题）
①一个方程：用奇偶加减特性或整除特性，并结合尾数法求解。首先找到已知数字的奇偶性，进一步推得未知数字的奇偶性。
②两个方程：用消元法（消掉未知数，目的：将两个方程转换成一个方程）求解，问什么就保留什么，不问什么就消掉什么。
例题
S01：吴女士到水果店分别买了4元一个的火龙果，5元一个的蛇果各若干个，共花了31元钱，请问吴女士共买了几个水果（）
A.5 B.6 C.7 D.8
(4*X+5*Y=31，偶+？=奇，所以5*Y是奇数 =》尾数 ?+5=1，所以4*X的尾数=6)
补充：系数是5开头，尽量用尾数法。因为判断奇偶性后，相当于判定了尾数！
S02：小王打靶共用了10发子弹，全部命中，都在10环、8环和5环上，总成绩为75环，则命中10环的子弹数是：
A . 1发 B . 2发 C . 3发 D . 4发
（X+Y+Z=10,10X+8Y+5Z=75，题目问X那就留下X，得5X+3Y=25。5X是5的倍数，25也是5的倍数，所以3Y也是5的倍数）
补充：鸡兔同笼思想（2个方程，3个未知数）
假设10发子弹全部命中5环。那么5*10=50，还多出来75-50=25环。
10环比5环多5环，8环比5环多3环。所以5X+3Y=25。
L01：小李为办公室购买了红、黄、蓝三种颜色的笔若干支，共花费40.6元。
已知红色笔单价为1.7元、黄色笔为3元、蓝色笔为4元，则小李买的笔总数最多是
A.19支 B.20支 C.21支 D.22支
（17X+30Y+40Z=406,17X尾数必须是6，所以X最大是18。306+?=406，所以X=2,Y=1 ）
L02：某企业的员工参加了一项需缴纳170元培训费的培训。同时，该企业允许非内部员工参加培训，但其不能享受员工优惠价。
参训的非内部员工，如果是男生需交350元；如果是女生需交300元。结果，共有50人参加培训，整个培训收到的费用总额为10000元。
由此可知，有多少个不是内部员工的女生参加了培训？
A.4 B.5 C.6 D.7
（假设50个全是内部培训，50*17=850，还多1000-850=150元，得18Y+13Z=150。利用整除特性18Y和150是6的倍数。所以13Z也是6的倍数）
补充：当系数与和的最大公约数，大于2时，尽量使用整除特性。
奇偶特性的本质，就是最大公约数为2。
L03：超市将99个苹果装进两种包装盒,大包装盒每个装12个苹果,小包装盒每个装5个苹果,共用了十多个盒子刚好装完.问两种包装盒相差多少个?
A、3 B、4 C、7 D、13
（考点，十多个盒子=》盒子尽量多。12X+5Y=99, 奇偶性+尾数法，X+Y尽量大。 ）
L04：现有甲、乙、丙三种货物,若购买甲1件、乙3件、丙7件共需200元;若购买甲2件、乙5件、丙11件共需350元。则购买甲、乙、丙各1件共需___元:
A、 50 B、 100 C、 150 D、 200
（X+3Y+7Z=200，2X+5Y+11Z=350，求X+Y+Z，此题不能消元）
补充（特值法）：
2个方程，3个未知数，方程的解无穷多个。但是X+Y+Z=是确定的，所以和与解没有关系，所有解都能使和成立。所以假设Z=0求解。
谁的系数大，另谁等于0。
已知3个未知数，2个方程，求第三个方程时，使用特值法！只求一个单独的未知数，不是特值法。
L04：现有甲、乙、丙三种货物,若购买甲1件、乙3件、丙7件共需200元;若购买甲2件、乙5件、丙11件共需350元。则购买甲、乙、丙各1件共需___元:
A、 50 B、 100 C、 150 D、 200
G01：木匠加工2张桌子和4张凳子共需要10个小时，加工4张桌子和8张椅子需要22个小时。问如果他加工桌子、凳子和椅子各10张，共需要多少小时？
A.47.5 B.50 C.52.5 D.55
G02：某企业采购A类、B类和C类设备各若干台,21台设备共用48万元。
已知A、B、C类设备的单价分别为1.2万元、2万元和2.4万元。问该企业最多可能采购了多少台C类设备?
A、 16 B、 17 C、18 D、19
（扩大10倍去掉小数，再全部去掉公约数。21*3=63,120-63=57,2B+3C=57，利用3的倍数特征。B应该最小，所以3C=17.）
易错真题
1、某镇政府办公室集中采购一批打印纸，分发给各个职能部门。
如果按每个部门4包分发，则多6包；如果按每个部门5包分发，则有1个部门只能分到3包。这批打印纸的数量是：
A . 38包 B . 36包 C . 40包 D . 42包
（部门数确定设为X。4X+6=5(X-1)+3，得X=8）
2、某烟农晾晒一批重量为500斤的烟叶，晾晒期间有3天阴天，其余时间天气晴好，最后收获干烟叶约187斤。
已知晴天时烟叶每天较前一天减重20%，阴天时每天较前一天减重10%。则这批烟叶一共晾晒了（ ）天。
A . 5 B . 6 C . 7 D . 8
（假设晾晒x天，500×0.93×0.8x-3=187）
母题研究（鸡兔同笼）
1、鸡兔同笼，共有头60个，足142只，求兔子有多少只？
（假设60只全是鸡，则有60×2=120足。142-120=22。一共多出来22只足，
一只兔子比一只鸡多4-2=2足，一共多出来，22÷2=11只兔 ）
思想：在鸡兔同笼问题中，将A看成B求出的就是A。（将兔子看成鸡求出来的就是兔子。）
2、小王上山每分钟走50米，下山每分钟走80米。他从山脚出发到达山顶后立刻原路下山，出发30分钟内一共走了1680米。问他走到山脚还要多少分钟？
A.10 B.12 C.8 D.9
（50×30=1500,1680-1500=180,180/(80-50)=6min，说明下山走了6分钟，上山走了24分钟S=1200，下山全程1200/80=15分钟）
3、某银行为一家小微企业提供了年利率分别为6%、7%的甲、乙两种贷款，期限均为一年。若两种贷款的合计数额为400万元，企业需付利息总额为25万元，则乙种贷款的数额是：
A . 100万元 B . 120万元 C . 130万元 D . 150万元
4、某足球比赛售出 40 元、 80 元、 200 元门票共 2000 张, 其中 80 元的门票数是 200 元的门票数的 2 倍, 比赛门票收入共 14 万元。 则 40 元门票售出多少张?
A. 1000 B. 1150 C. 1200 D. 1250
（假设卖出的门票都是40元，得40×2000=8万，14-8=6万，
1张80比1张40多40元，得40Y+160Z=6万，∵Y=2Z，得240Z=6万，=》Z=250张。Y=500张，X=1250）
（方法二：整除特性，40元张数+（80元+200元）=2000，其中2000÷3余1，∴40元张数÷3也要余1。 ）
5、有一项测验由20道单选题组成，每道题有A、B、C、D四个选项。回答正确1道题得2分，回答错误1道题倒扣1分。若20道题全部选择A，得分将为－5分；若全部选B，得分将为4分；若全部选C，得分将为1分。那么该项测验中正确答案为D项的题目有多少道？
A、0 B、2 C、3 D、4
（假设全涂满80个选项得，20×2-60×1=-20分，已涂的 -5+4+1=0分 =》∴全涂完D=-20分，）
（如果，ABC涂满后，还得-6分。∵-6分+-14分才能等于-20分，∴所有 D涂满得-14分，）
（-14比-20多出来6分，答对1题比答错1题相差2-(-1)=3分，6/3=2题正确）
母题研究（不定方程）
1、小王、小李、小张和小周4人共为某希望小学捐赠了25个书包,按照数量多少的顺序分别为小王、小李、小张、小周.
已知小王捐赠的书包数量是小李和小张捐赠书包的数量之和；小李捐赠的书包数量是小张和小周捐赠的书包数量之和.问小王捐赠了多少书
A.9 B.10 C.11 D.12
（只假设两个未知数，设张为X，周为Y，得4X+3Y=25，利用奇偶特性， 如果y=1，则4X=22不成立，所以Y=3 ）
2、小李用150元钱购买了16元一个的书包、10元一个的计算器和7元一支的钢笔寄给灾区儿童。如果他买的每一样物品数量都不相同，书包数量最多而钢笔最少，那么他买的计算器数量比钢笔多几个？
A.1 B.2 C.3 D.4
（16X+10Y+7Z=150,利用奇偶性，得偶+偶+偶=偶，设7Z=14则Z=2，利用尾数法，6+0+4=0，得x=6，y=4 ）
3、20人乘飞机从甲市前往乙市，总费用为27000元。每张机票的全价票单价为2000元，除全价票之外，该班飞机还有九折票和五折票两种选择。每位旅客的机票总费用除机票价格之外，还包括170元的税费。则购买九折票的乘客与购买全价票的乘客人数相比（ ）。
A 两者一样多 B 买九折票的多1人 C 买全价票的多2人 D 买九折票的多4人
（鸡兔同笼法：买的票全部看成是五折票，则相当于消掉了五折票。20×100=2000元，2700-2000-17×20=360.
多出的钱数：100X+80Y=360 =》5X+4Y=18。）
4、57 、某次考试，题目是30道多项选择题，每题选对所有正确选项3分，少选且正确得1分，不选或选错倒扣1分，小王最终得分为50分，现要求改变评分方式，选对所有正确选项得4分，少选且正确得1分，不选或错选倒扣2分，问这种评分方式下小王将得多少分？
A.40 B.55 C.60 D.65
（已知2个方程，求第三个方程利用特值法。）
5、小红、小明、小军三人参加一次数学竞赛，一共有100道题，每个人各解出其中的60道题，有些题三人都解出来了，称为容易题：只有两人解出的称为中等题，只有一人解出的称为难题。一直没道题均有一人解出，难题比容易题多多少
A.10 B.15 C.20 D.25
（X+Y+Z=100,3X+2Y+Z=180，=》没有问Y就把Y消掉。得Z-X=20）
