【数量关系】第一节:整数特性问题
整数特性法核心公式:
①若A:B = m:n,则A是m的倍数,B是n的倍数,A ±B是m±n的倍数; (m,n互质!)
②若A:B :C= m:n:p,则A是m的倍数,B是n的倍数,C是p的倍数,A +B+C是m+n+p的倍数;
四大应用:
①当条件中出现比例:m:n或m:n:p (男:女=9:7,男+女是16整数倍)
②当条件中出现分数:m/n
③当条件中出现百分数:% (男比女多40% => 男 = 女(1+40%) => 男:女=7:5)
④当条件中出现倍数:n倍 (A比B多7倍 => A:B = 8:1)
例题:
S1:甲、乙两种商品的价格比是3∶5。如果它们的价格分别下降50元,它们的价格比是4∶7,这两种商品原来的价格各为:
A.300元、500元 B.375元、625元 C.450元、750元 D.525元、875元
在整数特性问题中,特别注意两点:
①、2,4,5,8不适用!除非明确告知能够被精准整除。(人数、零件数)
②、不用讨论小数点。
(女 = 男 * 3.5倍,3.5拆分出0.5 * 7 => 女生人数一定是7的倍数)
例题:
L01:某市服务行业举行业务技能大赛,其中东区参赛人数占总人数的,西区参赛人数占总人数的,南区参赛人数占总人数的,其余的是北区的参赛人员。
结果东区参赛人数的获奖,西区参赛人数的获奖,南区参赛人数的获奖,已知参赛总人数超过100人,不到200人,则参赛总人数为( )
A.120 B.140 C.160 D.180
(9是180的倍数)
L02:老王两年前投资的一套艺术品市价上涨了50%,为尽快出手,老王将该艺术品按市价的八折出售,扣除成交价5%的交易费用后,
发现与买进时相比赚了7万元。问老王买进该艺术品花了多少万元?
A.84 B.42 C.100 D.50
(X*1.5*0.8*0.95=X+7,1.5是3的倍数,遇到乘以X.5的运算,前面×2,后面÷2构造简便运算)
L03:两个派出所某月内共受理案件160起,其中甲派出所受理的案件中有17%是刑事案件,乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件,
问派出所在这个月中共受理多少起非刑事案件?
A.48 B.60 C.72 D.96
(17%是命题点,17与100没有公约数)
T01:某农户饲养有肉兔和宠物兔两种不同用途的兔子共计2200只,所有兔子的毛色分为黑、白两种颜色。
肉兔中有87.5%的毛色为黑色,宠物兔有23%的毛色为白色。那么毛色为白色的肉兔至少有多少只?
A、25 B、50 C、100 D、200
(87.5% = 7/8,23% => 23与100互质,设8m+100n=2200 得2200是100倍数,100n是100倍数,所以8m也是100倍数)
L01:办公室有一些黑色和红色的签字笔,最近由于工作需要,每周都会用掉6支黑色签字笔和3支红色签字笔。
3周后整理剩余物资时发现,剩下的红色签字笔的数量是黑色签字笔的2倍。则办公室原有签字笔至少( )支。
A . 27 B . 28 C . 29 D . 30
(考点在2倍。9*3 = 27 + 3n = 30)
L02:现有5盒动画卡片,各盒卡片张数分别为:7、9、11、14、17。卡片按图案分为米老鼠、葫芦娃、喜羊羊和灰太狼4种,每个盒内装的是同图案的卡片。
已知米老鼠的卡片只有一盒,而喜羊羊、灰太狼图案的卡片数之和比葫芦娃图案的多1倍。据此可知,图案为米老鼠的卡片张数为?
A . 7 B . 9 C . 14 D . 17
(考点在多1倍,喜羊羊+3n=58,判断3的倍数解题 )
补充:
A +B=C
A ÷8...1 B÷8...3 ∴ C÷8...4
A ÷8...2 B÷8...4 ∴ C÷8...6
∴ A ÷8...4 B÷8...7 C÷8...3
L05:四人年龄为相邻的自然数列且最年长者不超过30岁,四人年龄之乘积能被2700整除且不能81整除。则四人中最年长者多少岁?
A . 30 B . 29 C . 28 D . 27
(能被2700整除且不能81整除 => 先化简,3^3*100,3^4 => 只能有3个3,不能有4个3)
T03:小李某月请了连续5天的年假,这5天的日期数字相乘为7893600,问他最后一天年假的日期是:
A . 25日 B . 26日 C . 27日 D . 28日
(7893600是3的倍数,不是9的倍数。∴只有一个3,并且是100倍数。)
补充:
①、消3法,判断3的倍数。(0是3的倍数)
7438210 => 0是3的倍数,2+1是3的倍数,7+8是3的倍数,4不是3的倍数。结果÷3余1。
①、消9法,判断9的倍数。
同理。240001÷9余7。
L06:如图,一个正方体的表面上分别写着连续的6个整数,且每两个相对面上的两个数的和都相等,则这6个整数的和为
(要么5 6 7 8 9 10,要么 6 7 8 9 10,3个对面的和相等,∴是3的倍数)
G01:每年三月某单位都要组织员工去A、B两地参加植树活动。已知去A地每人往返车费20元,人均植树5棵,去B地每人往返车费30元,人均植树3棵,
设到A地员工有x人,A、B两地共植树y棵,y与x之间满足y=8x-15,若往返车费总和不超过3000元,那么,最多可植树多少棵?
A.489 B.400 C.498 D.500
(偶数 - 奇数 = 奇数)
补充:
y=8X-15 => 8(x-2)+1 => ∴÷8余1
y=8X+15 => ÷8余7
同余问题:
A÷8 ... 3 ,A÷5 ... 3(余同+余)<=> 40n+3 (所有满足除以8余3和除以5余3的集合,周期是40)
(和同)÷8 ... 1 ,÷5 ... 4(和同+和)<=> 40n+5
(差同)÷8 ... 6 ,÷5 ... 3(差同-差)<=> 40n-2
口诀:余同+余,和同+和,差同-差,公倍数做周期。
余数万能定理:
A ÷ 5 ... 3,=》3,8,13,18(余数周期)
A ÷ 7 ... 4 =》4,11,18(余数周期)
《=》 ÷ 35 ... 18《=》35n+18
G02:某工厂新招了一百多名女工,为她们分配宿舍时发现若每间住6人则有一个房间少1人,
若每间住7人则有一个房间只有1人住,问如果每个房间最多住4人的话,最少需要几个房间?
A.26 B.27 C.28 D.29
(÷6 ... 5 ,÷7 ... 1《=》42n+29)
母题研究
1、两件快递的重量之比是3︰2,去除包装之后的重量之比是9︰5。若包装重量都是120克,则两件快递的重量分别是:
A.390克、260克 B.480克、320克 C.540克、360克 D.630克、420克
思路:
初始是3:2,减去部分后是9:5,说明原来要比9份,5份大,(先放大发现)同乘一个3刚好得到12:8,符合同时减去3等于9:5,
所以3份是120,12份就是480。
2、小张家养了一只大狗和一只小狗。现在,小狗的体重只有大狗的一半。如果两只狗的体重各增加5千克,那么小狗的体重将达到大狗的60%。据此可知,若两只狗的体重各增加10千克,小狗、大狗的体重比将会是
A、1∶2 B、2∶3 C、3∶4 D、4∶5
思路:
同时提高了10千克,相当于溶液中加入了溶质。
初始状态1:2(50%),变成3/5(60%),提高了10%,下一次提高会比10%低。
3、某地区有甲乙丙丁4个派出所。已知上月甲、乙2个派出所的合计出警次数为95次,乙丙丁合计出警140次,乙出警数占四个派出所出警次数总和的7/40,则上月甲派出所出警次数是
思路:
40n - 140 = 尾数法。
甲+7n=95,甲=95-7n(7的倍数)
4、某高校本年度毕业学生3060名,比上年度增长2%。其中本科生毕业数量比上年度减少2%,而研究生数量比上年度增加10%,那么,这所高校本年度本科生毕业数量是:
A.1900 B.1990 C.1960 D.1930
思路:
今年本科 = 去年 *(1-2%)= 去年 * 49/50,所以去年本科是50的倍数,今年本科是49倍数
题目中出现了百分数,而且问题与百分数相关,可以用整除特性法。
6、已知正月初六从某火车站乘车出行旅客人数恰好是正月初五的8.5倍,且恰好比正月初七少9%,则正月初七从该火车站乘车出行的旅客人数至少是:
A.850人 B.1300人 C.1700人 D.3400人
思路:
8.5X = Y*(1-9%) = Y*91/100 ,Y是100的倍数,同时也是8.5倍数 = 17与5的倍数。
T01:某商店规定每4个空啤酒瓶可以换1瓶啤酒,小明家买了24瓶啤酒,他家前后最多能喝到多少瓶啤酒?( )
A 30 B 31 C 32 D 33
思路:
每N个空瓶可以换1瓶,一共买了X瓶, X+ [X/(n-1)] 取整数。
7、某老旧写字楼重新装修,需要将原有的窗户全部更换为单价90元每扇的新窗户。已知每7扇换下来的旧窗户可以跟厂商兑换一扇新窗户。全部更换完毕后共花费16560元且剩余4扇旧窗户没有兑换,那么该写字楼一共有多少扇窗户:
A.214 B.184 C.218 D.188
思路:
16560÷90=184,184÷6 = 30
方法二: 7---》1,最后剩4,,总窗数 7n+4 =》 ÷7...4
8、在一次马拉松比赛中,某国运动员包揽了前四名,他们佩戴的参赛号码很有趣运动员甲的号码加4,乙的号码减4,丙的号码乘4,丁的号码除以8,所得的数字都一样。这四个号码中有1个三位数号码,2个两位数号码,1个一位数号码,且其中一位运动员在比赛中取得的名次也与自己的号码相同。那么其中三位数的号码为
A、1120 B、128 C、256 D、512
思路:
所得数字设成4X,
9、瓶中装有浓度为20%的酒精溶液为1000克,现在又分别倒入200克和400克的A、B两种酒精溶液,瓶里的溶液浓度变为15%。已知A种酒精溶液的浓度是B种酒精溶液浓度的2倍。那么A种酒精溶液的浓度是多少?
A.5% B.6% C.8% D.10%
思路:
中间错误结果一定出现在选项中。
10、某机关事务处集中采购了一批打印纸,分发给各职能部门。如果按每个部门9包分发,则多6包;如果按每个部门11包分发,则有1个部门只能分到1包。这批打印纸的数量是()。
· A.87包 B.78包 C.69包 D.67包
思路:
÷9...6 与 ÷11...1
11、将2万本书籍分给某希望小学9个班的学生。在9个班中,其中1个班有学生32人,其余8个班人数相同且在40到50人之间。如每名学生分到的书本数相同,问每人分到了多少本书?
A.40 B.50 C.60 D.80
思路:
假设每人y本,32Y+8XY = 20000,4Y+XY=2500,(4+X)*Y=2500
Y必须是2500的整数倍。
12、某单位原拥有中级及以上职称的职工占职工总数的62.5%。现又有2名职工评上中级职称,之后该单位拥有中级及以上职称的人数占总人数的。则该单位原来有多少名职称在中级以下的职工?
A.68 B.66 C.62 D.60
思路:
中下/总 = 3/8 ,中下-2/总 = 4/11,减2后是4的倍数