模板多项式 exp

ABC387G

求 $n$ 个点，每个回路长度都是质数的有标号无向连通图个数。

首先回路之间肯定点不相交，否则若长度为 $a,b$ 的两个点相交回路有 $k$ 条公共边，则形成一个长度为 $a+b-2k$ 的回路，

而 $a,b$ 都是质数，所以 $a+b-2k$ 是偶数且不是 $2$，它肯定不是质数。所以把回路缩起来之后，合法的图一定是一棵树。

设图中有 $m$ 个回路，第 $i$ 个回路长度为 $s_i$，则把它们连成树的方案数为 $n^{m-2}\prod s_i={\displaystyle \frac{\prod n{s}_i}{n^2}}$。（扩展 Cayley 定理）

问题转化为对于每种把点集连成若干个回路的方案，求 $\prod n{s}_i$ 之和除以 $n^2$。

考虑列出一个回路的 EGF $F(x)$ 再 SET 构造（exp），

可以发现对于素数 $i$，把 $i$ 个点连成长度为 $i$ 的回路有 ${\displaystyle \frac{(i-1)!}{2}}$ 种方案，每种方案的权值都是 $ni$，

特别地，把 $1$ 个点连成长度为 $1$ 的回路有 $1$ 种方案，其权值为 $n$，

所以 $F(x)=nx+\sum _{i\ge 3,i\in \mathbf{P}}{\displaystyle \frac{n}{2}}{x}^i$，答案即为 $\left[{\displaystyle \frac{x^n}{n!}}\right]\exp F(x)$。

https://atcoder.jp/contests/abc387/submissions/61396116